,1086 北京科技大学学报 第30卷 质的渗透系数和体积压缩系数，a、p和q为参数， 变形定义的固结度为： 其余假设与Terzaghi假定相同.这样变荷载下土层 CH 一维固结方程可表示为： U=s=Jo m[p(t)-uldz H p- a「 1+ (z,t) Jom pudz Pu H 1+a, 9u(z1)dp(1) dt ∂t (2) mjexp()(exp(d 「H 式中，co=ko/Ym0,u(z,t)为超孔隙水压力， p(t)表面压力，Y为水的容重 (7) p(t) 式中，S为最终固结沉降，Pu为最终压力值.因此， 0 任意时刻的固结沉降为： H ≥k(1+月y m()k(1+号y S=U,Sa=U.P.Jo md= (8) 由式(6)和(7)可知，在一定的荷载条件下，变参 数土层超孔隙水压力和沉降的计算主要涉及凸、 m、)和(z),因此获得固结解析解的关键是得到 图1变参数土层 特征方程(4)的解.下面根据参数变化的特点分以 Fig-1 Soil layer with variable properties 下三种情况分别求特征方程(4)的解. 初始条件为：t=0,u(z,0)=u0, 2特征方程的解 边界条件为：t>0,u(z,t)l:=0=0:t>0, 2.1a=0或p=q=0的情况 心到，=，=0（单面排水）.(：0l:=一0（双 此时地基为均质地基，其固结问题为经典的 面排水) Terzaghi一维固结问题的解，其单面排水解可以表 若采用分离变量法，式(2)的解可表示为： 示为] u(z,t)= $(z)y(t) (3) 其中，第j阶固有函数(z)和特征值)满足下列 方程： 对于双面排水情况，将H取一半厚度进行计算 1+ pd中(z】 H =0 dz 即可 2.2a≠0，p-g=2的情况 (4) 广义坐标Y(t)由下式得出： 采用坐标变换，令y=m1+骨 ,则特征方程 +)=.2=e)） 可以表示为： mi Jo $+(p-1)$+9=0 (11) (5) 式中，P(t)=0p/t.求解方程(4)和(5)，则变参数 式中，= a co .当(p-1)2-45≥0时，由边界条 土层一维固结方程的完全解可表示为： 件可知，式(11)的解只有一个零解：当(p-1)2- u(z,t)≥ 45<0时，令0=N45-(p-1)2/2,则式(11)的 空5eep(-[m+P(ap(a时 解为： (6) (cicos0y+)(12) 式中，5=/m￥=J0m,(z)鸟(z)dz, 将边界条件代入式(12)，经整理可得： H mj=()m()dz +2 由以上超孔隙水压力的解答，可进一步得到按 身-e-P2己)sin(单面排水)(3a)质的渗透系数和体积压缩系数‚a、p 和 q 为参数‚ 其余假设与 Terzaghi 假定相同．这样变荷载下土层 一维固结方程可表示为： cv0 ∂ ∂z 1＋ a H z p∂u（ z ‚t） ∂z ＝ 1＋ a H z q ∂u（ z ‚t） ∂t － ∂p（ t） ∂t （2） 式中‚cv0＝ k0／γw mv0‚u （ z ‚t）为超孔隙水压力‚ p（ t）表面压力‚γw 为水的容重． 图1 变参数土层 Fig．1 Soil layer with variable properties 初始条件为：t＝0‚u（ z ‚0）＝ u0． 边界条件为：t ＞0‚u （ z ‚t ）｜z ＝0＝0；t ＞0‚ ∂u（ z ‚t） ∂z z ＝ H ＝0（单面排水）‚u（ z ‚t）｜z ＝ H＝0（双 面排水）． 若采用分离变量法‚式（2）的解可表示为： u（ z ‚t）＝ ∑ ∞ j＝1 ●j（ z ） Y j（ t） （3） 其中‚第 j 阶固有函数●j （ z ）和特征值 λj 满足下列 方程： λj cv0 1＋ a H z q ●j（ z ）＋ d d z 1＋ a H z p d●j（ z ） d z ＝0 （4） 广义坐标 Y j（ t）由下式得出： Y · j（ t）＋λjY j（ t）＝ 1 m∫j H 0 ●jmv ∂p（ t） ∂t d z ＝μjP（ t） （5） 式中‚P（ t）＝∂p／∂t．求解方程（4）和（5）‚则变参数 土层一维固结方程的完全解可表示为： u（ z ‚t）≅ ∑ m j＝1 μj●j（ z ）exp（－λjt） u0＋∫ t 0 P（τ）exp（λτj ）dτ （6） 式中‚μj ＝ γj／mj‚γj ＝∫ H 0 mv （ z ） ●j （ z ） d z ‚ mj＝∫ H 0 ●2 j（ z ） mv（ z ）d z ． 由以上超孔隙水压力的解答‚可进一步得到按 变形定义的固结度为： Us＝ S Scf ＝∫ H 0 mv ［ p（ t）－ u］d z ∫ H 0 mv p ud z ＝ p（ t） p u － ∑ m j＝1 mjμ2 jexp（－λjt） u0＋∫ t 0 P（τ）exp（ττj ）dτ p∫u H 0 mvd z （7） 式中‚Scf为最终固结沉降‚p u 为最终压力值．因此‚ 任意时刻的固结沉降为： S＝ Us Scf＝ Us p∫u H 0 mvd z （8） 由式（6）和（7）可知‚在一定的荷载条件下‚变参 数土层超孔隙水压力和沉降的计算主要涉及 μj、 mj、λj 和●j（ z ）‚因此获得固结解析解的关键是得到 特征方程（4）的解．下面根据参数变化的特点分以 下三种情况分别求特征方程（4）的解． 2 特征方程的解 2∙1 a＝0或 p＝q＝0的情况 此时地基为均质地基‚其固结问题为经典的 Terzaghi 一维固结问题的解‚其单面排水解可以表 示为［11］： λj＝ （2j－1）π 2H 2 cv0‚●j＝sin （2j－1）π 2H z （9） mj＝ mv0H 2 ‚γj＝ 2mv0H （2j－1）π ‚μj＝ 4 （2j－1）π （10） 对于双面排水情况‚将 H 取一半厚度进行计算 即可． 2∙2 α≠0‚p－q＝2的情况 采用坐标变换‚令 y＝ln 1＋ a H z ‚则特征方程 可以表示为： ●″j＋（ p－1）●′j＋ζj●j＝0 （11） 式中‚ζj＝ H 2λj a 2cv0 ．当（ p－1） 2－4ζj≥0时‚由边界条 件可知‚式（11）的解只有一个零解；当（ p －1） 2－ 4ζj＜0时‚令 θj ＝ 4ζj－（ p－1） 2／2‚则式（11）的 解为： ●j＝exp － p－1 2 y （ c1cosθjy＋c2sinθjy） （12） 将边界条件代入式（12）‚经整理可得： ζj＝θ2 j＋ p－1 2 2 ‚ ●j＝exp － p－1 2 y sinθjy（单面排水） （13a） ·1086· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷