§242球 Bessel函数 第4页 所以,最后就有展开式 eikr cose=>(21+1)i'j(kr)PI(cos e) 另法因为eos=ek2是 Helmholtz方程的解 故应有 eikr cos =>Aj(kr)Pi(cos 0) 现在的问题是如何定出系数A1? Ai(6)=2+/c=P(a)d i。P2 -面上 eikrrPl(r)d 2-(-)e]+o 另一方面 I(hr) kr 1-+I-ikr +O(产 +1f。ikr e +O 因此 21+1 即41=(2+1)i2 最后就得到展开式 erob=∑2+1)￥in(kr)P(cos) 也可以赋予这个展开式一个物理解释:平面波按球面波展开.这是因为,若规定定相位的时 间因子为e-t,且r和B为球坐标,则上式左端是向6=0即正z轴)方向传播的平面波,波数 为k,而右端每一项中的j(k)则具有球面波的相位因子Wu Chong-shi §24.2 P Bessel ◗❘ ❙ 4 ❚ ✦✧★➪➶✾ ⑥ ➵➸③ e ikr cos θ = X∞ l=0 (2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ). ➹➘ ❂ ✈ e ikr cos θ = eikz ✩ Helmholtz ❱❲✘♠ ￾ ∇2 + k 2
e ikr cos θ = 0, ❼❽⑥ e ikr cos θ = X∞ l=0 Aljl(kr)Pl(cos θ). ➴ ❳ ✘♥♦✩➷➬➩ ✱✺✚ Al ➮ Aljl(kr) = 2l + 1 2 Z 1 −1 e ikrxPl(x)dx = 2l + 1 2 " 1 ikr e ikrxPl(x)     1 −1 − 1 ikr Z 1 −1 e ikrxP 0 l (x)dx # = 2l + 1 2 1 ikr e ikr − (−) l e −ikr + O  1 r 2  . ✓✔❱➱★ jl(kr) = 1 kr cos  kr − 1 2  l + 1 2  π − π 4  + O  1 r 2  = 1 kr cos  kr − l + 1 2 π  + O  1 r 2  = 1 2kr (−i)l+1e ikr + il+1e −ikr + O  1 r 2  = 1 2kr (−i)l+1 e ikr − (−) l e −ikr + O  1 r 2  , ❂❃★ Al (−i)l+1 2 = 2l + 1 2i ✃ Al = (2l + 1)il , ➪➶✾❀❁➵➸③ e ikr cos θ = X∞ l=0 (2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ). ✮ ✿✧❐❒❦✷➵➸③✔✷❮❰♠Ï✛ ÐÑÒÓÔÑÒÕÖ✤❦ ✩ ❂ ✈ ★×Ø➩➩❖Ù✘ ❛ Ú❂Û✈ e −iωt ★Ü r ❈ θ ✈❨❩❬★⑨✴③ÝÞ✩ ß θ = 0 (✃ ⑧ z à) ❱ ßáâ✘ã➱ä★ ä✚ ✈ k ★◆åÞæ✔➳ ç✘ jl(kr) ⑨è⑥❨➱ä✘ ❖Ù❂Û★ jl(kr) ∼ 1 kr sin  kr − lπ 2  .