第二十四讲 主函数(三 第5页 第二十四讲(二)分离变量法总结(一) 到现在为止,我们已经处理了几种典型的偏微分方程定解问题,介绍了求解这些定解问题的 种有效方法,分离变量法.这种方法,当然有一定的适用条件,例如,要求方程和定解条件都是 线性的,因此定解问题的解具有叠加性.在第15讲中,我们曾经结合具体的求解过程,分析了这 种解法对于定解问题的要求.特别是,曾经指出(见15.1节这种方法是否能够普遍地应用于求解 偏微分方程定解问题,在理论上,取决于下列几个问题 1.本征值问题是否一定有解,换勺话说,在什么条件下,本征值问题一定有解: 2.定解问題的解是否一定可以按照某一组本征函数展开,换句话说,在什么条件下,本征函 数是完备的 3.本征函数是否一定具有正交性 从这一讲开始,我们就要从理论上回答这几个问题,从而为分离变量法奠定一个坚实的理论基础. 当然,严格说来,这里介绍的也只是充分条件.在一般物理问题中,这些条件是能够满足的 824.3内积空间与函数空间 1.内积与内积空间 设在数域K上定义了n维矢量空间V,它的元素(矢量)用,y,…表示,可以把三维矢量 空间中失量的长度的概念推广到n维矢量空间为此,先定义n维矢量的内积 对于实n维矢量空间(即K为实数域),在选定了一组基{e,i=1,2,…,n}之后,空间中的 任意一个矢量m都可以用它在这一组基上的投影(坐标)x1,r2,…,n表示, e1+x2e2+…+xnen=)re 对于空间中的矢量x和y,最常见的内积定义为 (x,y)=n1y+xy2+…+nn iyi 这是一个实数.显然有 (x,y)=(v,x)和|(x,x)≥0, 并且,当且仅当c=0时,才有(x,x)=0.在此基础上,就可以定义矢量x的长度‖xl 对于复n维矢量空间,如果仍保留上述内积定义,容易看出,这时的矢量长度就可能不是实Wu Chong-shi ➊➋➌➍➎ (➏) ➐ ◗ ❘ (➑) ❙ 5 ❚ ￾✁✂ ✄☎ (✁ ) éêëìíîï (✆) ❁➴❳✈ð★❜❝ ñ❡ò❰ó➓ôõö✘÷❣ ❪❱❲➩♠♥♦★øùó❧♠❦ú➩♠♥♦✘ ✔ô⑥û❱ü★ ❪❫❴❵ü✤❦ô❱ü★ý■ ⑥ ✔➩✘þ➽ÿ￾★✁ ➷ ★✂❧ ❱❲❈➩♠ÿ￾ ❆✩ ❑▲✘★❂❃➩♠♥♦✘♠è ⑥✄☎▲✤❳q 15 r ç★❜❝ ❞❡➾●è✆✘❧♠✝ ❲ ★ ❪✞ ó❦ ô♠ü✟✠➩♠♥♦✘✂❧ ✤ ✖ ➉✩★❞❡❺ ✱ (♣ 15.1 ✏ ) ❦ô❱ü✩✡✯☛☞✌➧ ❽➽ ✠ ❧♠ ÷❣ ❪❱❲➩♠♥♦★ ❳ ❰✒✴★➈✍ ✠❭✎ ➓✷♥♦✛ 1. ✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚★✛ ✜✢✣★✤✥ ✦✧★✩★ ✏✑✒ ✓✔✗✘✙✚✪ 2. ✘✚ ✓✔✫✚✕✖✗✘✬ ✭✮✯ ✰✗✱✏✑✲✳✴✵★✛ ✜✢✣★✤✥ ✦✧★✩★ ✏✑✲ ✳✕ ✶✷✫✪ 3. ✏✑✲✳✕✖✗✘✸✙✹✺✻✤ ✼❦✔r ➸✽★❜❝✾✂✼❰✒✴ ✾✿❦➓✷♥♦★✼◆ ✈❪❫❴❵ü❀ ➩✔✷❁✲✘❰✒➆➇✤ ý■★❂❃❄❅★❦❆øù✘ ✮❇✩❈❪ ÿ￾ ✤❳✔❤❮❰♥♦ ç ★❦úÿ￾ ✩✯☛ ➄➅✘ ✤ §24.3 ❉❊❋●❍✍☞❋● 1. ■❏❑■❏▲▼ ➻ ❳✚◆ K ✴➩➫ó n ❖ P◗▲▼V ★①✘ ❘❙ (P◗) ➽ x, y, · · · ➔❚ ✤ ✿✧✵❉❖❯❵ ❱Ú ç❯❵ ✘ ❲❳ ✘❨❩✰❬ ❁ n ❖❯❵ ❱Ú ✤✈❃★✥➩➫ n ❖❯❵ ✘ ■❏ ✤ ✟✠✲ n ❖❯❵ ❱Ú (✃ K ✈ ✲ ✚◆) ★ ❳❭ ➩ó✔❪➆ {ei , i = 1, 2, · · · , n} ❫ ➶★❱Ú ç ✘ ❄❅✔✷❯❵ x ❆ ✿✧➽① ❳ ❦✔❪➆✴✘❴❵ (❩❬) x1, x2, · · · , xn ➔❚★ x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = Xn i=1 xiei . ✟✠❱Ú ç ✘ ❯❵ x ❈ y ★➪❢♣ ✘ ❛❜➩➫✈ (x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = Xn i=1 xiyi . ❦ ✩ ✔✷✲ ✚✤❍■⑥ (x, y) = (y, x) ❈ (x, x) ≥ 0, ❝Ü★ýÜ❞ý x = 0 ❛ ★❡ ⑥ (x, x) = 0 ✤❳❃➆➇✴★✾✿✧➩➫❯❵ x ✘❢❣ kxk kxk = (x, x) 1/2 . ✟✠❋ n ❖❯❵ ❱Ú★ ➷ ➚❤✐ ❥✴❦ ❛❜➩➫★❧♠♥✱ ★❦ ❛ ✘ ❯❵ ❢❣✾✿✯❻✩✲