§243内积空间与函数空间 第6页 为了保持矢量长度仍是实数,不妨在保持长度定义的前提下,把内积定义修改为 (x,y)=i+n2+…+xnn=∑ 其中x是x的复共轭.显然,在复矢量空间中, (x,y)=(y,x) 这样的内积概念显然是三维矢量的标积的简单推广.但还不够普遍和抽象,特别是矢量的内 积明显依赖于基的选取.我们当然需要从内积的各种可能定义中抽象出它的最本质的要素.从而 给出一个公理化的内积定义(以后就称为内积公理) 定义241(定义在实数或复数域K上的)矢量空间中矢量c和y的内积(x,y)是它们的标 量值函数,满足 2.(a霍+βy,z)=a'(c,z)+β(3,z),其中α和β是数域K上的标量 3对于任何x,(x,x)≥0;当且仅当m=0时,(x,x)=0 例24.1若 和y Un 是实数域上的列矢量,P为(给定的对角矩阵,对角元P均为正实数,则可定义矢量x和y的 内积为 P10 0 0P22 (x,y)=(x1,x 例242实变量t的所有复系数的多项式的集合,在多项式加法以及多项式和复数的乘法 下构成一个复矢量空间.不妨假设0≤t≤1.若x(1)和y(t)是此矢量空间中的两个矢量(即多项 式),则它们的内积可以定义为 (a, y)=/r*(t)y(t)p(t)dt, 其中已知函数p(x)≥0且≠0Wu Chong-shi §24.3 ♦ ♣qrs◗❘qr ❙ 6 ❚ ✚✤✈ó✐t❯❵ ❢❣❤✩ ✲ ✚ ★ ❻✉❳ ✐t❢❣➩➫✘➒✈ ❭ ★✵ ❛❜➩➫✇ ✻✈ (x, y) = x ∗ 1y1 + x ∗ 2y2 + · · · + x ∗ nyn = Xn i=1 x ∗ i yi , ① ç x ∗ i ✩ xi ✘❋②③✤ ❍■★ ❳ ❋ ❯❵ ❱Ú ç ★ (x, y) = (y, x) ∗ . ❦ ✭ ✘ ❛❜❨❩❍■✩❉❖❯❵ ✘ ❬ ❜✘④⑤✰❬✤⑥➨❻☛☞✌❈⑦⑧★✖ ➉✩❯❵ ✘ ❛ ❜ ⑨❍⑩❶✠ ➆✘ ❭ ➈ ✤ ❜❝ý■❷✂✼ ❛❜✘❸ô✿✯ ➩➫ ç⑦⑧✱ ①✘➪✎❹✘✂❺✤ ✼◆ ❻ ✱ ✔✷❼❰❷✘ ❛❜➩➫ (✧➶✾ ✇✈ ❛❜❼❰ ) ✤ ❽❾ 24.1 (➩➫❳ ✲ ✚❿ ❋ ✚◆ K ✴✘ ) ❯❵ ❱Ú ç❯❵ x ❈ y ✘ ❛❜ (x, y) ✩ ①❝✘ ❬ ❵➀✙✚★➄➅✛ 1. (x, y) = (y, x) ∗ ✪ 2. (αx + βy, z) = α ∗ (x, z) + β ∗ (y, z) ★➁ ➂ α ➃ β ✕✳➄ K ➅✫➆➇✪ 3. ➈➉➊➋ x ★ (x, x) ≥ 0 ✪➌➍➎ ➌ x = 0 ➏ ★ (x, x) = 0 ✤ ➭ 24.1 × x =   x1 x2 . . . xn   ❈ y =   y1 y2 . . . yn   ✩ ✲ ✚◆ ✴✘ ✎❯❵ ★ P ✈ (❻➩✘ ) ✟❊➐➑★ ✟❊➒ Pii ➓✈ ⑧✲ ✚ ★⑨✿➩➫❯❵ x ❈ y ✘ ❛❜✈ (x, y) =  x1, x2, · · · , xn    P11 0 · · · 0 0 P22 · · · 0 . . . . . . 0 0 · · · Pnn     y1 y2 . . . yn   . ➭ 24.2 ✲ ❴❵ t ✘✦ ⑥ ❋ ✺✚✘ ➲➳③✘➔●★ ❳➲➳③ ☎ü ✧→ ➲➳③ ❈ ❋ ✚ ✘➣ ü ❭↔✽ ✔✷❋❯❵ ❱Ú ✤❻✉↕➻ 0 ≤ t ≤ 1 ✤ × x(t) ❈ y(t) ✩ ❃ ❯❵ ❱Ú ç ✘✶✷❯❵ (✃➲➳ ③ ) ★⑨①❝✘ ❛❜✿✧➩➫✈ (x, y) = Z 1 0 x ∗ (t) y(t) ρ(t) dt, ① ç ñ➙ ✙✚ ρ(x) ≥ 0 Ü 6≡ 0 ✤