这类问题称为内约束问题。 一般地说，内约束可以表示为 f(Ej)=0 (6.30) 约束可以是一个也可以是多个。 因为有内约束，变形过程中会产生内约束应力，约束应力在约束应变上不做功，所以约束应 力就不能反映到广义胡克定律中。 对(6.30)求微分，得 a寸d6=0 (6.31) 06 另一方面，约束应力N,在约束应变上不做功，则有N,d,=0,和(6.31)此较，有 N,=c- af 6.32) 8u 例：橡胶，各向同性不可压缩材料，体积应变Gr=6=6,+62+6=0,相当于泊松比 为0.5。 约束应力： Ni=c- 6丛=c6,记为-p心，· 08 本构关系：O,=14可，+2E,=246,这部分是非约束应变对应的应力，总的应力为 O=-pδ+2lEn (6.33) 代入平衡方程0=0得 ,i+,m-P=0 (6.34) 不可压缩材料弹性力学问题完整的描述为 LV2u+uv(V-u)-Vp=0 in 7u=0 inV (6.35) u=ū ona.v n.T=t on aV 6.6柱体自重拉伸问题 如图1所示柱体，长为1，截面形状不限，可以是圆的或矩形的，上下两端面均是平面。 上端悬挂，其它面自由。 体力：f=0,f=0,∫=-Pg,p是材料密度，g重力加速度。 假设：0，=0，=0，t,=t2=1=0,由平衡方程0-Pg=0,得a,=Pg+c,c为 常数。这些应力分量满足平衡方程和应力协调方程。7 这类问题称为内约束问题。 一般地说，内约束可以表示为 ()0 ij f ε = (6.30) 约束可以是一个也可以是多个。 因为有内约束，变形过程中会产生内约束应力，约束应力在约束应变上不做功，所以约束应 力就不能反映到广义胡克定律中。 对(6.30)求微分，得 0 ij ij f dε ε ∂ = ∂ (6.31) 另一方面，约束应力 Nij 在约束应变上不做功，则有 0 N dij ij ε = ，和(6.31)比较，有 ij ij f N c ε ∂ = ∂ (6.32) 例：橡胶，各向同性不可压缩材料，体积应变 11 22 33 0 V ii ε = εεε ε =++= ，相当于泊松比 为0.5。 约束应力： kk ij ij ij Nc c ε δ ε ∂ = = ∂ 记为 ij − pδ 。 本构关系： 2 2 σ ij kk ij ij ij = += λε δ με με ，这部分是非约束应变对应的应力，总的应力为 2 ij ij ij σ = − + pδ με (6.33) 代入平衡方程 , 0 σ ij j = 得 , ,, 0 i jj j ji i μu up + μ − = (6.34) 不可压缩材料弹性力学问题完整的描述为 2 ( ) 0 in 0 in on on u p V V V σV ⎧μ μ ∇ + ∇ ∇ −∇ = ⎪ ⎪∇ = ⎨ = ∂ ⎪ ⎪ = ∂ ⎩ u u u u u nT t i i i (6.35) 6.6 柱体自重拉伸问题 如图 1 所示柱体，长为l ，截面形状不限，可以是圆的或矩形的，上下两端面均是平面。 上端悬挂，其它面自由。 体力： 0, 0, xyz f = = =− ff g ρ ， ρ 是材料密度， g 重力加速度。 假设： 0, 0 σ x y xy yz xz == === σ τττ ，由平衡方程 0 z g z σ ρ ∂ − = ∂ ，得 z σ = + ρgz c ，c 为 常数。这些应力分量满足平衡方程和应力协调方程