E (1+y)720后-3N2O+0后+2f,=0 (6.26) va.- 将(6.26)式代入(625) 26+1+ 0体用+1- 1 fxy+fj+=0 (6.27 称为应力协调方程或Beltrami-Michell方程 以整体形式表示为 T+,1v阳+，业 1+y +i-0I++w=0 (6.28) 其中⊙=0：=01+02+03为应力张量的第一不变量。 (6.26)式说明当体力为常量或无体力时，7σ=0。 当体力为常量或无体力时，对(6.27)取Laplace算子，得 V27o+ 1(Vσ4)=0，由此可得770，=0，即当体力为常量或无体力时，各 1+v) 向同性弹性体的应力分量是双调和函数。 >以应力表示的边值问题 +,上 v2o,+1+ 1 ⊙+f+∫=0在中 1-y 0/+厂=0 在中 (6.29) njon=t 在o.'上 由于从应力求位移需要积分，所以上述方程对有位移边界的问题不便应用。 我们知道从位移可以由几何方程求出应变，反过来己知应变可以积分求位移，但应变必 须满足应变协调方程才能得到连续的、单值的位移。所以应变协调方程的作用是保证弹性体 各部分之间变形协调，使位移单值、连续，仅从应变协调方程是不能解出应变的。应力协调 方程是从应变协调方程和本构关系导出的，那么也不能由仅从应力协调方程解出应力，所以 (6.28)需要加上平衡方程。 (629)总共有6个未知量，9个方程，3个边界条件，形式上看似乎不太“合理”，有学 者研究，当体力忽略时，平衡方程在边界上满足就一定在整个区域内成立，这样平衡方程可 以当作边界条件，于是问题就变成6个未知量，6个方程，6个边界条件了，形式上看方程 和未知量个数相同了。 (629)式并未出现杨氏模量E,这说明如果只有应力边界条件，有两个弹性体它们受的 体力和边界面力相同，只要它们的泊松比相同，即使杨氏模量不同，它们内部的应力值和分 布就相同。这是一个很有趣的性质，称为应力不变性。 6.5内约束 有些材料对变形有一定的限制，例如橡胶，几乎不可压缩，体积应变在变形过程中总为 零。再比如碳纤维增强复合材料，碳纤维的拉伸模量很大，纤维方向可以近似看作不可拉伸。 66 2 2 , , 2 , (1 ) 3 0 1 1 ii kk kk ii i i ii i i E f f ν σ νσ σ μ ν σ ν +∇ −∇ + + = + ∇ =− − (6.26) 将(6.26)式代入(6.25) 2 , , ,, 1 0 1 1 ij kk ij k k ij i j j i f ff ν σσ δ ν ν ∇ + + ++= + − (6.27) 称为应力协调方程或 Beltrami-Michell 方程 以整体形式表示为 2 1 ( 0 1 1 ν ν ν ∇ + ∇∇Θ + ∇ + ∇ + ∇ = + − T f)I f f i (6.28) 其中Θ= = + + σ ii σσσ 11 22 33 为应力张量的第一不变量。 (6.26)式说明当体力为常量或无体力时， 2 0 ∇ σ ii = 。 当体力为常量或无体力时，对(6.27)取 Laplace 算子，得 22 2 , 1 ( )0 (1 ) σ σ ij kk ij ν ∇∇ + ∇ = + ，由此可得 2 2 0 ∇ ∇ = σ ij ，即当体力为常量或无体力时，各 向同性弹性体的应力分量是双调和函数。 ¾ 以应力表示的边值问题 2 , , ,, , 1 0 1 1 0 ij kk ij k k ij i j j i ij j i j ji i f ff V f V nt Vσ ν σσ δ ν ν σ σ ⎧ ∇+ + ++= ⎪ + − ⎪ ⎨ + = ⎪ = ∂ ⎪ ⎩ 在 中 在 中 在 上 (6.29) 由于从应力求位移需要积分，所以上述方程对有位移边界的问题不便应用。 我们知道从位移可以由几何方程求出应变，反过来已知应变可以积分求位移，但应变必 须满足应变协调方程才能得到连续的、单值的位移。所以应变协调方程的作用是保证弹性体 各部分之间变形协调，使位移单值、连续，仅从应变协调方程是不能解出应变的。应力协调 方程是从应变协调方程和本构关系导出的，那么也不能由仅从应力协调方程解出应力，所以 (6.28)需要加上平衡方程。 (6.29)总共有 6 个未知量，9 个方程，3 个边界条件，形式上看似乎不太“合理”，有学 者研究，当体力忽略时，平衡方程在边界上满足就一定在整个区域内成立，这样平衡方程可 以当作边界条件，于是问题就变成 6 个未知量，6 个方程，6 个边界条件了，形式上看方程 和未知量个数相同了。 (6.29)式并未出现杨氏模量 E ，这说明如果只有应力边界条件，有两个弹性体它们受的 体力和边界面力相同，只要它们的泊松比相同，即使杨氏模量不同，它们内部的应力值和分 布就相同。这是一个很有趣的性质，称为应力不变性。 6.5 内约束 有些材料对变形有一定的限制，例如橡胶，几乎不可压缩，体积应变在变形过程中总为 零。再比如碳纤维增强复合材料，碳纤维的拉伸模量很大，纤维方向可以近似看作不可拉伸