两边取散度，得 72(7u)+(2+4)7(7u)=0 (6.17) 即72(7u)=0。 再对(6.16)作用Laplace算子，得 7272u+(2+4)VV2(u)=0 (6.18) 由于7(7)=0，上式左边第二项为零，所以77u=0,即无体力时，各向同性弹性体 的位移分量是双调和函数。 6.4以应力表示的边值问题 应变协调方程可以写为7×厂×7=0，原则上可以将应力-应变关系 6,二E 0,一E04⊙，代入上式，即可导出以应力表示的应变协调方程，但这样推导太繁 琐，其中的关系不容易看清。下面我们从Navier方程出发来推导。 Navier方程 1 4+1-2nW叫，+=0 (6.19) 两边求偏导数 1 (6.20) i,j交换 * 1 (u),m+=0 (6.21) (6.20+6.21) 22e+2-(Vu)g+（f,+fa)=0 1 (6.22) 1+ = -E O:0 (6.23) E 1-2 8m= -0i (6.24) E 将6.23)、(6.24)代入(6.22) (1+V)72o)-W2o:可+0+ +f)-0 (6.25) 2μ 两边乘以6（取迹） J5 两边取散度，得 2 2 μ λμ ∇ ( )( ) ( )0 ∇ + + ∇∇ = i i u u (6.17) 即 2 ∇∇ = ( )0 iu 。 再对(6.16)作用 Laplace 算子，得 22 2 μ λμ ∇ ∇ + ∇∇ ∇ u+ u =0 ( ) () i (6.18) 由于 2 ∇∇ = ( )0 iu ，上式左边第二项为零，所以 2 2 ∇ ∇ = u 0 ，即无体力时，各向同性弹性体 的位移分量是双调和函数。 6.4 以应力表示的边值问题 应变协调方程可以写为 ∇× ×∇ = Γ 0 ，原则上可以将应力 - 应变关系 1 ij ij kk ij E E ν ν ε σ σδ + = − 代入上式，即可导出以应力表示的应变协调方程，但这样推导太繁 琐，其中的关系不容易看清。下面我们从 Navier 方程出发来推导。 Navier 方程 2 , 1 1 () 0 1 2 i ii u f ν μ ∇+ ∇ + = − iu (6.19) 两边求偏导数 2 , ,, 1 1 () 0 1 2 i j ij i j u f ν μ ∇+ ∇ + = − iu (6.20) i j , 交换 2 , ,, 1 1 () 0 1 2 j i ji j i u f ν μ ∇+ ∇ + = − iu (6.21) (6.20)+(6.21) 2 , ,, 2 1 2 ( ) ( )0 1 2 ij ij i j j i ε f f ν μ ∇+ ∇ + + = − iu (6.22) 1 ij ij kk ij E E ν ν ε σ σδ + = − (6.23) 1 2 ii ii E ν ε σ − = (6.24) 将(6.23)、(6.24)代入(6.22) 2 2 , ,, (1 ) ( ) 0 2 ij kk ij kk ij i j j i E ν σ ν σδ σ f f μ + ∇ −∇ + + + = (6.25) 两边乘以 ij δ (取迹)