圣维南原理的基础在于应变能密度的正定性，极大地简化了弹性力学问题的求解，是梁、 板、壳近似理论的基础。 局限性：(1)没有严格的定量表述，什么情况下成立尚未得到严格证明。 (2)有些情况下不成立，例如对薄壁杆件和有裂纹的结构某些情况下不成立。 6.3以位移表示的边值问题 平衡方程：O+∫=0 各向同性体的本构关系：O,=元E狱可，+2E=4k⊙+(u,+“) 将本构关系代入平衡方程，得 元k6可，+4(4.+4)+f=0 (6.11) k:6+气+un+f=0 (6.12) (2+川)4，m+.m+f=0 (6.13) 整体形式：(2+4)V(7u)+7u+f=0 式中v?=02+a2,02 ar+d+正为拉普拉斯(pace)算子。 或者写成u+,1V(Nu)+f=0 1-2y 这就是以位移表示的弹性力学方程。 分量形式为： (a+四只（+4+人=0 (a+四2(Ww+W+j,=0 (6.14) oy a+2（m+Wr+f=0 又称为Navier方程。 >以位移表示应力边界条件 应力边界条件：T=「(n,0m=)将本构关系代入，得 n,(2eδm+2uEm)=n,(uAdm+2Ei)=元ukn,+2n,Em= (6.15) 写成整体形式为：2Vun+2nT=t 如果没有体力，Navier方程简化为： (+)V(7u)+72u=0 (6.16) 44 圣维南原理的基础在于应变能密度的正定性，极大地简化了弹性力学问题的求解，是梁、 板、壳近似理论的基础。 局限性：(1) 没有严格的定量表述，什么情况下成立尚未得到严格证明。 (2) 有些情况下不成立，例如对薄壁杆件和有裂纹的结构某些情况下不成立。 6.3 以位移表示的边值问题 平衡方程： , 0 ij j i σ + = f 各向同性体的本构关系： , ,, 2 () ij kk ij ij k k ij i j j i σ = += + + λε δ με λ δ μ u uu 将本构关系代入平衡方程，得 , ,, ( )0 k kj ij i jj j ij i λu uu f δ μ + + += (6.11) ,, , 0 k ki i jj j ji i λu u uf + μ μ + += (6.12) , , () 0 j ji i jj i λ + μ μ u uf + += (6.13) 整体形式： 2 ( )( ) 0 λμ μ + ∇∇ + ∇ + = iu uf 式中 222 2 222 x y z ∂∂∂ ∇= + + ∂∂∂ 为拉普拉斯(Laplace)算子。 或者写成 2 1 1 () 0 1 2ν μ ∇ + ∇∇ + = − u uf i 这就是以位移表示的弹性力学方程。 分量形式为： 2 2 2 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 x y z u f x v f y w f z λμ μ λμ μ λμ μ ∂ + ∇ +∇ + = ∂ ∂ + ∇ +∇ + = ∂ ∂ + ∇ +∇ + = ∂ u u u i i i (6.14) 又称为 Navier 方程。 ¾ 以位移表示应力边界条件 应力边界条件： ( ) j ji i niT t = = n t σ 将本构关系代入，得 , , ( 2) ( 2) 2 j kk ji ji j k k ji ji k k i j ji i n n u un n t λε δ με λ δ με λ μ ε += += + = (6.15) 写成整体形式为：λ∇i i u+ t n n 2μ Γ = 如果没有体力，Navier 方程简化为： 2 ( )( ) λμ μ + ∇∇ + ∇ = iu u0 (6.16)