f(x)=P(x)+Rn(x)为函数f(x)的 Taylor公式 1.误差的定量刻画(整体性质)— Taylor中值定理: Th1设函数∫满足条件 i>在闭区间[a,b]上∫有直到n阶连续导数 i)在开区间(a,b)内∫有n+1阶导数 则对x∈(an,b),彐5∈(a,b),使 (x)=f(a)+r(ax-a)+Va)(x-a)2+…+"(a)(x-ay”+ f(m(5) f(a) n+1) (x-a)= (x-a)+ k (n+1)! 证[1]P188-189 称这种形式的余项Rn(x)为 Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的7 aylor公式为 具 Lagrange型余项的7 aylor公式. Lagrange型余项还可写为 fm(a+0(x-a) (x-a),∈(0,1) a=0时,称上述 Taylor公式为 Maclaurin公式,此时余项常写为 R (x) fnl(at)x”,0<6<1 关于aylo公式中 Lagrange型余项的进一步讨论可参阅: Alfano,G. Azpeitia, On the Lagrange reminder of the Taylor formula. Amer. Math. Monthly, 89 (1982) Ex[1]P192 2.误差的定性描述(局部性质)— Peano型余项: Th2若函数∫在点a的某邻域∪(a)内具有n-1阶导数,且f(a)存在,则 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ f"(a) (x-a)2+ (x-a)"+o((x-a)" 21 n 证设Rn(x)=f(x)-Pn(x),G(x)=(x-a)”.应用L' Hospital法则n-1次,并 注意到f(a)存在,就有 0 R,(x) Rm-l(x)=lin (-(x)-fm(a)-fm(a(x-a) x→aG(x) x→aG(n-1 n(n-1)…2(x-a) =m/ (n-1) 称R,(x)=(x-a))为ay1or公式的Pano型余项,相应的 Maclaurin公式的Pmo 型余项为Rn(x)=(x").并称带有这种形式余项的 Taylor公式为具 Peano型余项的 7 aylor公式(或 Maclaurin公式) 四函数的 Taylor公式(或 Maclaurin公式)展开: 1.直接展开: 例2求f(x)=e的 Maclaurin公式xRxPxf )()()( n += n 为函数 的xf )( Taylor 公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理: Th 1 设函数 满足条件 f : ⅰ> 在闭区间 上 有直到 阶连续导数 ba ],[ f n ; ⅱ> 在开区间 内 有 ba ),( f n +1阶导数. 则对 ξ ∈∃∈∀ babax ),,( ),,( 使 ++− +− ′′ += ′ +− n n ax n af ax af axafafxf )( ! )( )( !2 )( ))(()()( )( 2 " 1 )1( )( )!1( )( + + − + + n n ax n f ξ ∑= = +− n k k k ax k af 0 )( )( ! )( 1 )1( )( )!1( )( + + − + n n ax n f ξ . 证 [1]P188—189. 称这种形式的余项 为 Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为 具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 xR )( n ,)( )!1( ))(( )( 1 )1( + + − + −+ = n n n ax n axaf xR θ θ ∈ ) 1 , 0( . a = 0 时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为 ,)( )!1( 1 )( + )1( +1 + = n n n xxf n xR θ < θ < 10 . 关于Taylor公式中Lagrange型余项的进一步讨论可参阅: Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula.Amer. Math. Monthly, 89(1982). Ex [1]P192 2． 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: Th 2 若函数 在点 的某邻域 内具有 f a ∪ a)( n −1阶导数, 且 )( 存在, 则 )( af n ++− +− ′′ += ′ +− n n ax n af ax af axafafxf )( ! )( )( !2 )( ))(()()( )( 2 " ( ) n D − ax )( , 证 设 n −= n xPxfxR )()()( , . 应用 n −= axxG )()( L′ Hospital 法则 n −1次, 并 注意到 )( 存在, 就有 )( af n ==== = − − → → )( )( lim )( )( lim )1( )1( 0 0 xG xR xG xR n n n ax n ax )(2)1( ))(()()( lim )1( )1( )( axnn axafafxf n n n ax −− −− − − − → " = 0)( )()( lim ! 1 )( )1( )1( =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − − → af ax afxf n n n n ax . 称 ( ) n n D −= axxR )()( 为 Taylor 公式的 Peano 型余项, 相应的 Maclaurin 公式的 Peano 型余项为 . 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Peano 型余项的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 ). )()( n n = D xxR 四. 函数的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 )展开: 1. 直接展开: 例 2 求 的 Maclaurin 公式. x )( = exf 52