解c=1+x+x+…+x+ (0<6<1) nl(n+1)! 例3求f(x)=Sinx的 Maclaurin公式 解 SInx=x (2m-1)+E2m(x) 2m+ Rm(x) (2m+Di Sin a+(m+a)I 0<6<1 例4求函数∫(x)=ln(1+x)的具 peano型余项的 Maclaurin公式 解f"(x)=(-1)x(-1)!f((0)=(-1)y-(n-1) (1+x) In(1+x)=x +(-1)nx +o(x") 例6把函数f(x)=gx展开成含x3项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 2.间接展开:利用己知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式 例6把函数f(x)=sinx2展开成含x4项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 SInx=x +o(x) 3!5!7 sinx = x 351-n+( 例7把函数f(x)=cos2x展开成含x°项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 2!4!6 o(x°), 4x426x6 COS 2x +(x°),(注意,o(kx)=(x),k≠0) 2x425x6 cOS x=-(+ cos 2x)=1-x 3! 6(x5) 例8先把函数∫(x)=,展开成具 Peano型余项的 Maclaurin公式.利用得到的 展开式,把函数g(x) 3+5x 在点x0=2展开成具 Peano型余项的 Taylor公式 解f f("(0)=(-1)”n f(x)=1-x+x2-x+…+(-1)"x"+o(x); g(x) 3+5x13+5(x-2)131,5( (x-2)+(5)(x-2-+(1)5(x-y)+.(x-2y) 例9把函数shx展开成具 Peano型余项的 Maclaurin公式,并与sinx的相应展开式 进行比较解 ) 10 ( , )!1(!!2!1 1 1 2 << + +++++= + θ θ n n x x x n e n xxx e " . 例 3 求 = sin)( xxf 的 Maclaurin 公式. 解 )( )!12( ) 1 ( !5!3 sin 2 12 1 53 xR m xx x xx m m m + − −+−+−= − " − , 10 ,) 2 1 (sin )!12( )( 12 2 ⎟ << ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + = + θ mx π θ m x xR m m . 例 4 求函数 += xxf )1ln()( 的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 解 )!1() 1()0( , )1( )!1( ) 1()()( 1 )( 1 −−= + − −= − − f n x n xf n n n n n . )() 1( 32 )1ln( 1 32 n n n x n xx x xx " +−+−+−=+ D − . 例 6 把函数 )( = tgxxf 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 5 x 2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式. 例 6 把函数 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 2 = sin)( xxf 14 x 解 ) ( !7!5!3 sin 7 753 x xxx xx +−+−= D , ) ( !7!5!3 sin 14 106 14 22 x xxx xx +−+−= D . 例 7 把函数 xxf 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 2 = cos)( 6 x 解 ) ( !6!4!2 1cos 6 642 x xxx x +−+−= D , ), ( !6 2 !3 4 212cos 6 664 2 x xx xx +−+−= D ( 注意, = DD kxkx ≠ 0 ),()( ) ∴ ) ( !6 2 !3 2 1)2cos1( 2 1 cos 6 654 2 2 x xx x xx +−+−=+= D . 例 8 先把函数 x xf + = 1 1 )( 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 利用得到的 展开式, 把函数 x xg 53 1 )( + = 在点 展开成具 2 Peano 型余项的 Taylor 公式. x0 = 解 , )1( !)1( 1 )( + + − = n n n x n f !)1()0( . )( f n n n −= 1)( ); ()1( 32 nn n xxxxf " +−++−+−= D xx 13 )2(5 1 1 13 1 )2(513 1 53 1 )( − + = −+ = + = xx x xg = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+−−+−− − nn n x x x )2() 13 5 () 1()2() 13 5 ()2( 13 5 1 13 1 2 2 " + ( ).)2( n D x − 例 9 把函数 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ，并与 的相应展开式 进行比较. shx sin x 53