解ex x!x +o( x (-1)-+o(x e sInx=x- +=-)“x+ (2m-1)! 五. Taylor公式应用举例: 1.证明e是无理数 例10证明e是无理数 证把e展开成具 Lagrange型余项的 Maclaurin公式,有 e=1+1+ +…+一+ 0<5<1 n!(n+1)! 反设e是有理数,即e=P(p和q为整数),就有ne=整数+2对 n+1 n>9,ne=n也是整数于是es P n2-整数=整数一整数=整数但由 0<5<1,→0<e<e<3,因而当n>3时,不可能是整数.矛盾 n+1 2.计算函数的近似值: 例11求e精确到0.000001的近似值 解 0<5<1 nl(n+1)! 注意到0<5<1→0<e<e<3,有|R(1)≤ <0.000001 (n+ 1)为使 只要取n≥9.现取n=9,即得数e的精确到0.0000010的近似值为 e≈1+1+-+-+…+-≈2.718281 3.利用 Taylor公式求极限:原理解 ), ( !!2!1 1 2 n n x x n xxx e +++++= D" )( ! )1( !2!1 1 2 n n x n x n xx x e " +−+−+−= D ; ∴ ) ( 2 )!12(!5!3 12 53 12 − − − + − ++++= − = m xx m x m xxx x ee shx " D . 而 ) ( )!12( )1( !5!3 sin 12 53 121 − −− + − − +−+−= m mm x m xx x xx " D . 五. Taylor 公式应用举例: 1. 证明 是无理数 e : 例 10 证明 是无理数 e . 证 把 展开成具 e x Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式, 有 10 , )!1(! 1 !3 1 !2 1 11 << + ++++++= ξ ξ n e n e " . 反设 是有理数 e , 即 p q p e = ( 和 q 为整数 ), 就 有 !en = 整 数 + n +1 eξ . 对 q p nenqn !! , ⋅=>∀ 也是整数. 于是, −⋅= + q p n n e ! 1 ξ 整数 = 整数―整数 = 整数.但由 0 ,10 ee <<<⇒<< ,3 因而当 时， ξ ξ n > 3 n +1 eξ 不可能是整数. 矛盾. 2． 计算函数的近似值: 例 11 求 精确到 的近似值 e 000001.0 . 解 10 , )!1(! 1 !3 1 !2 1 11 << + ++++++= ξ ξ n e n e " . 注意到 0 ,10 ee <<<⇒<< ,3 有 ξ ξ )!1( 3 ) 1 ( + ≤ n Rn . 为使 000001.0 )!1( 3 < n + , 只要取 n ≥ 9 . 现取n = 9, 即得数e 的精确到 的近似值为 000001.0 718281.2 !9 1 !3 1 !2 1 e 11 " ≈+++++≈ . 3. 利用 Taylor 公式求极限: 原理: 54