例12求极限lma2+a-x-2 =1+xIna+In a +o(x) 1-xIna+ a+o x +a-2=xIn a+o(x) 3.证明不等式:原理 例13证明:x≠0时,有不等式e2>1+x ]P192-193 §3运用导数研究函数性态(6时) 可微函数单调性判别法 单调性判 Th1设函数∫(x)在区间(a,b)内可导.则在(a,b)内f(x)/(或)分在(a,b)内 f(x)≥0(或≤0) 证←)。→)(证f(x)≥0 Ih2设函数∫(x)在区间(a,b)内可导.则在(a,b)内∫(x)’’(或、)→i> 对vx∈(a,b),有∫(x)≥0(或≤0);ⅱ>在(a,b)内任子区间上∫(x)≠0 2.单调区间的分高:∫(x)的升、降区间分别对应f(x)的非负、非正值区间 例1分离函数f(x)=x3-x的单调区间 二、可微极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值,极值是多少 1.可微极值点的必要条件: Fermat定理(表述为Th3) 函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点,可疑点的求法 2.极值点的充分条件:对每个可疑点,用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点 Th4(充分条件I)设函数∫(x)在点x连续,在邻域(x0-6,x0)和(x0,x0+6) 内可导.则 i>在(x。-6,x0)内f(x)<0,在(x0,x0+6)内∫(x)>0时 为 f(x)的一个极小值点 i>在(x0-d,x0)内∫(x)>0,在(x,x0+d)内∫(x)<0时,→x0为 f(x)的一个极大值点 ii若∫(x)在上述两个区间内同号,则x0不是极值点 Th5(充分条件Ⅱ—“雨水法则”)设点x0为函数f(x)的驻点且∫(x0)存在.则 i〉当∫"(x0)<0时,x0为f(x)的一个极大值点 i)当∫"(x0)>0时,x为f(x)的一个极小值点例 12 求极限 ) 0 ( , 2 lim 2 0 > −+ − → a x aa xx x . 解 ) (ln 2 ln1 2 2 2 ln xa x axea axx +++== D , ) (ln 2 ln1 2 2 2 xa x axa x ++−= D − ; ). (ln2 22 2 xaxaa xx +=−+ D − ∴ a x xax x aa x xx x 2 2 22 2 0 2 0 ln ) (ln lim 2 lim = + = −+ → − → D . 3． 证明不等式： 原理. 例 13 证明: x ≠ 0 时, 有不等式 xe . x 1+> Ex [1]P192-193 §3 运用导数研究函数性态（ 6 时 ） 一、 可微函数单调性判别法： 1．单调性判法： Th 1 设函数 在区间 内可导 xf )( ba ),( . 则在 ba ),( 内 ↗xf )( (或↘) ⇔ 在 内 ( 或 ). ba ),( ′ xf ≥ 0)( ≤ 0 证 ⇐)。 ⇒) ( 证 ′ ≥ 0)( . + xf ) Th 2 设函数 在区间 内可导 xf )( ba ),( . 则在 ba ),( 内 xf )( ↗↗( 或↘↘) ⇔ ⅰ> 对 ∈∀ bax ),,( 有 ′ xf ≥ 0)( ( 或≤ )0 ; ⅱ> 在 内任子区间上 ba ),( ′ xf ≡/ .0)( 2． 单调区间的分离: xf )( 的升、降区间分别对应 ′ xf )( 的非负、非正值区间. 例 1 分离函数 −= xxxf 的单调区间. 3 )( 二、可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少. 1．可微极值点的必要条件: Fermat 定理( 表述为 Th3 ). 函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法. 2． 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点. Th 4 (充分条件Ⅰ) 设函数 在点 连续 xf )( x0 , 在邻域 ) , ( 0 0 −δ xx 和 ) , ( xx 00 + δ 内可导. 则 ⅰ> 在 ) , ( 0 0 −δ xx 内 ′ xf < ,0)( 在 ) , ( xx 00 + δ 内 ′ xf > 0)( 时, 为 的一个极小值点; ⇒ 0 x xf )( ⅱ> 在 ) , ( 0 0 −δ xx 内 ′ xf > ,0)( 在 ) , ( xx 00 + δ 内 ′ xf < 0)( 时, 为 的一个极大值点; ⇒ 0 x xf )( ⅲ> 若 ′ xf )( 在上述两个区间内同号, 则 不是极值点. 0 x Th 5 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点 x0 为函数 的驻点且 xf )( )( 0 ′′ xf 存在.则 ⅰ> 当 0)( 时, 为 的一个极大值点; ′′ xf 0 < 0 x xf )( ⅱ> 当 0)( 时, 为 的一个极小值点. ′′ xf 0 > 0 x xf )( 55