证法一f"(x0)=li f(x)-f(x)、 f(x) 当f"(x0)<0时,在点x0的 某空心邻域内f(x)∠0.→f(x)与x-x0异号, 证法二用 Taylor公式展开到二阶,带 Peano型余项. Th6(充分条件Ⅲ)设∫(x)=f(x0)=…=∫(m(x0)=0,而∫(x0)≠0.则 i>n为奇数时,x不是极值点 i>n为偶数时,x0是极值点.且f(x0)>0对应极小;fm(x0)<0对应极大 例2求函数f(x)=(2x-5)x2的极值 []P190E3 432 例3求函数∫(x)=x2+—的极值 []P190E4 3.函数的最值:设函数∫(x)在闭区间[a,b]上连续且仅有有限个可疑点x1,x2,…,x 则 maxf(x)=max{f(a),f(b),f(x1),f(x2),…,f(xn)}; minf(x)=min{f(a),f(b),f(x1),f(x2),…,f(xn)} 函数最值的几个特例: i>单调函数的最值 i)如果函数f(x)在区间[a,b]上可导且仅有一个驻点,则当x0为极大值点时,x0 亦为最大值点;当x。为极小值点时,x0亦为最小值点 i)若函数f(x)在R内可导且仅有一个极大(或小)值点,则该点亦为最大(或小)值 iv〉对具有实际意义的函数,常用实际判断原则确定最大(或小)值点. Ex[1]P214-215 最值应用问题 A 1.5km lkm x E D 例4A、B两村距输电线(直线)分别为lkm和1.5km(如图),CD长3km.现 两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长AE+BE最小 解设x如图,并设输电线总长为L(x).则有 L(x)=AE+EB=√x2+1+y(-x)2+1.52,0≤x≤3 L)sx√3-x)2+152-(3-x)x2+1令 √(3-x)2+152√x2 →x√(3-x)2+1.52=(3-x)yx2+1 1.25x2+6x-9=0 解得x=1.2和x=-6(捨去 答 四.利用导数证明不等式 我们曾在前面简介过用中值定理或 Taylor公式证明不等式的一些方法,其实,利用导 数证明不等式的方法至少可以提出七种(参阅[3P112-142).本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理 1.利用单调性证明不等式:原理:若∫,则对Va<B,有不等式 f(a)≤f(B)证法一 . )( lim )()( lim)( 0 0 0 0 0 0 xx xf xx xfxf xf xx xx − ′ = − ′ − ′ ′′ = → → 当 0)(′′ xf 0 < 时, 在点 的 某空心邻域内 0 x 0 )( xx xf − ′ ⇒< ′ xf )( ,0 与 异号, − xx 0 …… 证法二 用 Taylor 公式展开到二阶, 带 Peano 型余项. Th 6 (充分条件Ⅲ ) 设 ′ 0 = ′′ 0 )()( " == n− )1( xfxfxf 0 = 0)( ,而 n)( xf 0 ≠ 0)( .则 ⅰ> n 为奇数时, 不是极值点; 0 x ⅱ> n 为偶数时, 是极值点. 且 对应极小; 对应极大. 0 x 0)( 0 )( xf > n 0)( 0 )( xf < n 例 2 求函数 3 2 −= )52()( xxxf 的极值. [1]P190 E3 例 3 求函数 x xxf 432 )( 2 += 的极值. [1]P190 E4 3．函数的最值: 设函数 在闭区间 上连续且仅有有限个可疑点 . 则 = ; xf )( ba ],[ n ,,, xxx 21 " )(max],[ xf ∈ bax max } )(,),(),(),(),( { 1 2 n " xfxfxfbfaf min)(min . ],[ = ∈ xf bax } )(,),(),(),(),( { 1 2 n " xfxfxfbfaf 函数最值的几个特例: ⅰ> 单调函数的最值: ⅱ> 如果函数 在区间 上可导且仅有一个驻点, 则当 为极大值点时, 亦为最大值点; 当 为极小值点时, 亦为最小值点. xf )( ba ],[ 0 x 0 x 0 x 0 x ⅲ> 若函数 xf )( 在 R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值 点. ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. Ex [1]P 214—215 最值应用问题: B 1.5km A 1km 例 4 A 、 B 两村距输电线（直线）分别为 和 （如图）， 长 . 现 两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长 1km 5.1 km CD km.3 AE + BE 最小. C x E D 解 设 x 如图，并设输电线总长为 xL )( .则有 )( .30 ,5.1)3(1 2 22 xEBAExL x +−++=+= x ≤≤ 0 1 5.1)3( 1)3(5.1)3( )( 222 22 2 令 === +⋅+− +−−+− ′ = x x xx xx xL , ⇒ 1)3(5.1)3( 22 2 xx xx +−=+− , .09625.1 2 xx =−+⇒ 解得 x = 2.1 和 x −= 6 ( 捨去 ). 答： …… 四． 利用导数证明不等式: 我们曾在前面简介过用中值定理或 Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用导 数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P112—142 ). 本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理. 1 ．利用单调性证明不等式 : 原 理 : 若 ↗f , 则 对 ∀α < β , 有不等式 α ≤ ff β )()( . 56