例5证明:对任意实数a和b,成立不等式 atb klal+b 1+|a+b|1+|a|1+|b 证取f(x)= (x≥0).f(x)= (1+x)2 >0,→在[0,+∞)内∫(x)’,于 是,由|a+b|≤|a|+|b,就有f(a+b|)≤f(la|+|b1),即 la+b al+ba +|a+b|1+|a|+|b|1+|a|+|b|1+|a|+|b|1+|al1+|b 2.不等式原理:[4]P169-171 不等式原理:设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续,在区间(a,+∞)内可导,且 f∫(x)>0:又f(a)≥0.则x>a时,f(x)>0.(不等式原理的其他形式.) 例6证明:x>时,ln(1+x2)> arctan-1 例7证明:x>0时,sinx>x-x 3.利用极值证明不等式 例8证明:x≠0时,ex>1+x Ex[1jP213-2151-20 五、凸性拐点 Jensen不等式(2时) (一)凸性的定义及判定 1.凸性的定义:由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别 定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续.若对vx1,x2∈[a,b],恒有 2/≈f(x)+(x2,(或川+x2)f(x)+f(x) 则称曲线y=f(x)在区间[a,b]上是凹(或凸)的.若在上式中,当x1≠x2时,有严格 不等号成立,则称曲线y=f(x)在区间[a,b]上是严格叫(或严格凸)的.凹和凸也分别 称为上凸和下凸 凸性的几何意义:倘有切线,与切线的位置关系;与弦的位置关系;曲线的弯曲方向 Th设函数∫(x)在区间(a,b)内存在二阶导数,则在(a,b)内 (1)f"(x)<0,→f(x)在(a,b)内严格上凸 (2)f"(x)>0,→f(x)在(an,b)内严格下凸 该判别法也俗称为“雨水法则” 证法一(用 Taylor公式)对yx1,x2∈(a,b),设x x1+x2,把f(x)在点x展 开成具 Lagrange型余项的 Taylor公式,有 f(x)=f(x)+f(xx-x)+()(x-) f(x2)=/(x)+f"(xWx0)+(52) Mo 2 其中51和52在x1与x2之间.注意到x1-x0=-(x2-x0),就有 (x)+(x)=2(x)+[(cXx1-x)+m"(Xx-x)]于是 若有f(x)<0,→上式中[]<0.,→f(x1)+f(x2)<2f(x0),即f(x)严格上凸例 5 证明: 对任意实数 和a b , 成立不等式 . 1 ||1 || ||1 b b a a ba ba + + + ≤ ++ + 证 取 ⇒> + ≥ ′ = + = ,0 )1( 1 )( ).0( , 1 )( 2 x xfx x x xf 在 + ∞ ) , 0 [ 内 ↗↗.于 是, 由 , 就有 xf )( +≤+ baba |||| || + ≤ + bafbaf ) |||| () || ( , 即 ||1 || ||1 || ||||1 || ||||1 || ||||1 |||| ||1 || b b a a ba b ba a ba ba ba ba + + + ≤ ++ + ++ = ++ + ≤ ++ + . 2. 不等式原理: [4]P169—171. 不等式原理 : 设函数 在区间 xf )( a ∞+ ) , [ 上连续,在区间 a + ∞ ) , ( 内可导,且 ′ xf > 0)( ; 又 af ≥ .0)( 则 x > a 时, xf > .0)( (不等式原理的其他形式.) 例 6 证明: 2 1 x > 时, )1ln( 1. 2 arctgxx −>+ 例 7 证明: x > 0时, !3 sin 3 x xx −> . 3．利用极值证明不等式: 例 8 证明: x ≠ 0 时, xe . x 1+> Ex [1]P 213—215 1-20； 五、 凸性 拐点 Jensen 不等式（ 2 时 ） （一） 凸性的定义及判定： 1．凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 设函数 xf )( 在区间 上连续 ba ],[ . 若对 ],[, 21 ∀ ∈ baxx , 恒有 2 )()( 2 21 1 2 xfxfxx f + ⎟ ≥ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + , ( 或 2 )()( 2 21 1 2 xfxfxx f + ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + . ) 则称曲线 = xfy )( 在区间 ba ],[ 上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当 21 ≠ xx 时, 有严格 不等号成立, 则称曲线 在区间 上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别 称为上凸和下凸. = xfy )( ba ],[ 凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 2． 利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 设函数 在区间 内存在二阶导数 xf )( ba ),( , 则在 内ba ),( ⑴ ′′ xf ⇒< xf )( ,0)( 在 内严格上凸 ba ),( ; ⑵ ′′ xf ⇒> xf )( ,0)( 在 内严格下凸 ba ),( . 该判别法也俗称为“雨水法则”. 证法一 ( 用 Taylor 公式 ) 对 21 ∈∀ baxx ),,(, 设 2 21 0 xx x + = , 把 在点 展 开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式, 有 xf )( 0 x ,)( 2 )( ))(()()( 2 01 1 1 0 010 xx f xxxfxfxf − ′′ += ′ +− ξ 2 02 2 2 0 020 )( 2 )( ))(()()( xx f xxxfxfxf − ′′ += ′ +− ξ . 其中ξ 1和ξ 2 在 与 之间 x1 x2 . 注意到 )( 01 02 − = − − xxxx , 就有 [ ] 2 022 2 1 2 0 011 ))(())(( 2 1 )(2)()( +=+ ′′ ξ +− ′′ ξ − xxfxxfxfxfxf , 于是 若有 ′′ xf ,0)( ⇒< 上式中[ ] " ⇒< 1 + 2 < xfxfxf 0 )(2)()( ,0 , 即 严格上凸 xf )( . 57