若有f(x)>0.,→上式中【]>0,→f(x1)+f(x2)>2f(x),即f(x)严格下凸 证法二(利用 lagrange中值定理.)若f"(x)>0,则有f'(x)/,不妨设 x1<x,并设x0 x1+x2 分别在区间[x12x0]和[x0,x2]上应用 lagrange中值定理, 有 351∈(x1,x),3f(x0)-f(x1)=f(51)(x-x1) 彐52∈(x02x2),3f(x2)-f(x)=f(2)x2-x0) 有x1<51<x<2<x2,→f(51)<f(2),又由x0-x1=x2-x0>0, f'(1)(x0-x1)<f(2)x2-x),→f(x0)-f(x1)<f(x2)-f(x0),即 f(x1)+f(x2)>2f(x)=2x1+x2 ∫(x)严格下凸 可类证∫"(x)<0的情况 3.凸区间的分离:f"(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间 (二)曲线的拐点:拐点的定义 例1确定函数f(x)=Xe的上凸、下凸区间和拐点 ]P154E20 解∫的定义域为(-∞,+∞),f(x)=e-(1-2x2),f"(x)=2x2x2-3)e 令f(x)=0,解得=、/3 22=0, 在区间(-∞, /2,0.0., ),(1,+∞)内∫”的符号依次为 ,+,-,+,→….拐点为 (0.0)(v2V2 倘若注意到本题中的∫(x)是奇函数,可使解答更为简捷 ( Jensen不等式及其应用: Jensen不等式:设在区间[ab]上恒有∫"(x)>0(或<0),则对[a,b]上的任意n个 点xk(1≤k≤m),有 Jensen不等式 f(xk)2(或≤)f xk 且等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立 证令x=∑x1,把(x)表为点x处具二阶Lmmg型余项的mr公式, 仿前述定理的证明,注意∑(x4-x)=0,即得所证 对具体的函数套用 Jensen不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证 明不等式的方法称为 Jensen不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数 的严格单调性 例1证明:对x,y∈R,有不等式e2≤(ex+ey) 例2证明均值不等式:对Va1,a2,…,an∈R',有均值不等式若有 ′′ xf ,0)( ⇒> 上式中[ ] " ⇒> 1 + 2 > xfxfxf 0 )(2)()( ,0 , 即 严格下凸 xf )( . 证法二 ( 利用 Lagrange 中值定理. ) 若 ′′ xf > ,0)( 则有 ′ xf )( ↗↗, 不妨设 1 < xx 2 ,并设 2 21 0 xx x + = ,分别在区间 和 上应用 Lagrange 中值定理, 有 ],[ 01 xx ],[ 20 xx ))(()()( ),,( 011 0 1 101 ξ ∈∃ =−∋ ′ ξ − xxfxfxfxx , ))(()()( ),,( 202 2 0 022 ξ ∈∃ ∋ − = ′ ξ − xxfxfxfxx . 有 ),()( , ξ ξ 22011 ξ 1 ξ 2 ⇒<<<< ′ < ffxxx ′ 又由 − = − xxxx 0210 > 0，⇒ ))(( 101 ′ ξ − xxf < ))(( 022 ′ ξ − xxf , ⇒ )()()()( 0 1 2 0 − < − xfxfxfxf ， 即 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =>+ 2 2)(2)()( 21 1 2 0 xx fxfxfxf ， xf )( 严格下凸. 可类证 的情况 ′′ xf < 0)( . 3． 凸区间的分离: ′′ xf )( 的正、负值区间分别对应函数 的下凸和上凸区间 xf )( . （二） 曲线的拐点: 拐点的定义. 例 1 确定函数 的上凸、下凸区间和拐点. [4]P154 E20 2 )( x xexf − = 解 的定义域为 . 令 , 解得 f ∞+∞− ), , ( ),21()( 2 2 xexf x ′ −= − 2 )32(2)( 2 x exxxf − ′′ −= ′′ xf = 0)( 2 3 , 0 , 2 3 x1 −= 2 xx 3 == . 在区间 ) , 2 3 ( , ) 2 3 , 0 ( , ) 0 , 2 3 ( , ) 2 3 , ( −∞− − ∞+ 内 f ′′ 的符号依次为 , , , +−+− ，⇒". 拐点为: . 2 3 , 2 3 , ) 0 , 0 ( , 2 3 , 2 3 2 3 2 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − e e 倘若注意到本题中的 是奇函数 xf )( , 可使解答更为简捷. （三） Jensen 不等式及其应用: Jensen 不等式: 设在区间 上恒有 ba ],[ ′′ xf > 0)( ( 或< ) 0 , 则对 上的任意 n 个 点 , 有 Jensen 不等式: ba ],[ nkx )1( k ≤≤ ∑= ≥ n k k xf n 1 )( 1 ( 或 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∑= n k k x n f 1 1 ) , 且等号当且仅当 n == " = xxx 21 时成立. 证 令 ∑= = n k k x n x 1 0 1 , 把 表为点 处具二阶 Lagrange 型余项的 Taylor 公式， 仿前述定理的证明，注意 ∑ 即得所证. )( k xf 0 x = =− n k k xx 1 0 ,0)( 对具体的函数套用 Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证 明不等式的方法称为 Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数 的严格单调性. 例 1 证明: 对 yx ∈∀ R,, 有不等式 )( 2 1 2 yx yx +≤ eee + . 例 2 证明均值不等式: 对∀ 21 ",,, aaa n ∈ R+ , 有均值不等式 58