a,+… 证先证不等式{a2…ans4+a“+a,取f(x)=lhx.f(x)在 (0,+∞)内严格上凸,由 Jensen不等式,有 nx4=∑nx=∑f(x)sf∑x|= =1 由∫(x)→a1a2…an a1+a2+…+an 对 a2a∈R·用上述已证结果,即得均值不等式的左半端 例3证明:对Vx1,x2…,xn∈R,有不等式 x1+x,+…+x x+· (平方根平均值) 例4设x+y+z=6,证明x2+y2+z2≥12 解取f(x)=x2,应用 Jensen不等式 例6在△ABC中,求证sinA+sinB+smCs 解考虑函数∫(x)=sinx,0≤x≤丌.∫"=-sinx<0,0<xx.→sinx在区 间(0,丌)内凹,由 Jensen不等式,有 sinA+sinB +sinC f(A)+f(B)+f(c) sra+b+ = SIn- →sinA+sinB+sinC≤ 例7已知a,b,c∈R+,a+b+c=1求证 3a+7+√3b+7+√3c+7≤6 解考虑函数f(x)=√x,f(x)在(0,+∞)内严格上凸由 Jensen不等式,有 3a+7+√3b+7+√3c+7f(3a+7)+f(3b+7)+f(3c+7) 3a+7+3b+7+3c+7 < |=f(a+b+c+7)=f8)=8=2 3 √3a+7+√3b+7+3c+7≤6 例8已知a>0,B>0,a3+B3≤2.求证a+B≤2.(留为作业) 解函数f(x)=x3在(0,+∞)内严格下凸由 Jensen不等式,有 (a+B)3 a+B).f(a)+f(B)_a3+B32 (a+B)≤8,→a+B≤2 Ex[P2l-216aaa n n 111 21 "+++ n aaa aaa n n n + + + ≤ ≤ " " 21 21 . 证 先证不等式 n aaa aaa n n n + + + ≤ " " 21 21 . 取 = ln)( xxf . 在 内严格上凸, 由 Jensen 不等式, 有 xf )( ∞+ ) , 0 ( ∏ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ≤ n k n k k n k k k n k k n n k k x n x n fxf n x n x 1 1 1 1 1 1 ln 1 )( 1 ln 1 ln . 由 ↗↗ xf )( ⇒ n aaa aaa n n n +++ ≤ " " 21 21 . 对 + ∈ R n aaa 1 ,, 1 , 1 21 " 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例 3 证明: 对∀ 21 ",,, xxx n ∈ R , 有不等式 n xxx n xxx n n 2 2 2 2 21 1 +++ ≤ "+++ " . ( 平方根平均值 ) 例 4 设 zyx =++ 6 ，证明 12 . 222 zyx ≥++ 解 取 , 应用 Jensen 不等式. 2 )( = xxf 例 6 在⊿ 中 ABC , 求证 2 33 sinsinsin CBA ≤++ . 解 考虑函数 = ≤≤ π ′′ = − < < xxfxxxf π ⇒ sin . 0 , 0 sin .0 ,sin)( x 在区 间 π ) , 0 ( 内凹, 由 Jensen 不等式, 有 2 3 3 sin 3 3 )()()( 3 sinCsinBsinA ⎟ ==⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ≤ ++ = ++ ∴ CBA π f CfBfAf . 2 33 sinCsinBsinA ≤++⇒ . 例 7 已知 ,,, =++∈ 1 求证 + R cbacba 6737373 3 3 3 cba ≤+++++ . 解 考虑函数 3 )( = xxf , xf )( 在 + ∞ ) , 0 ( 内严格上凸. 由 Jensen 不等式, 有 ≤ +++++ = +++++ 3 )73()73()73( 3 737373 3 3 3 cfbfafcba ( 28)8()7 3 737373 3 ⎟ ===+++=⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++++ ≤ fcbaf cba f . ⇒ 6737373 3 3 3 cba ≤+++++ . 例 8 已知 , 0 , 0 .2 求证 33 βαβα ≤+>> α + β ≤ 2 . ( 留为作业 ) 解 函数 在3 )( = xxf + ∞ ) , 0 ( 内严格下凸. 由 Jensen 不等式, 有 = + ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + 2 )()( 8 2 2 )( 3 3 ff βαβαβαβα f ⇒=≤ + ,1 2 2 2 33 βα 2 , 8)( 3 βα βα ≤+⇒≤+ . Ex [1]P215-216 59