曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 13 Gauss曲率和平均曲率 首先证明一个线性代数中很重要的定理 定理13(同时对角化).设有对称正定矩阵A∈Rm×m和对称矩阵B∈Rmxm,则一定唯 存在一个非奇异的矩阵S∈RmXm满足 SAS=I SBS 式中,Im为m阶单位矩阵,A满足det(B-AA)=0,i=1,…,m. 证明由于A是对称矩阵,因此一定唯一存在一个正交矩阵QA,使得 Q五AQA=A 其中,a1,…,am是A的特征值.因为A是正定矩阵,所以它所有的特征值都是正的.记 则有 QAAQA= A,即 (A3)-Q五AQA(13)-1=Im, 因此令SA=QA(1)1,有 SAASA=Im 令B=SBSA,因为B是对称矩阵,所以B也是对称矩阵,而且唯一存在一个正交矩阵 QB,满足 T BQB=AB= 式中,A1,…,Mm是B的特征值,满足det(B-AIm)=0,i=1,…,m.也就是 QBSABSAQ 此处令S=SAQB=QA(A3)-1QB,即有 s BS张量分析讲稿谢锡麟 曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 1.3 Gauss 曲率和平均曲率 首先证明一个线性代数中很重要的定理. 定理 1.3 (同时对角化). 设有对称正定矩阵 A ∈ R m×m 和对称矩阵 B ∈ R m×m, 则一定唯 一存在一个非奇异的矩阵 S ∈ R m×m 满足    S TAS = Im, S TBS =   λ1 . . . λm   . 式中, Im 为 m 阶单位矩阵, λi 满足 det(B − λiA) = 0, i = 1, · · · , m. 证明 由于 A 是对称矩阵, 因此一定唯一存在一个正交矩阵 QA, 使得 QT AAQA = ΛA =   a1 . . . am   , 其中, a1, · · · , am 是 A 的特征值. 因为 A 是正定矩阵, 所以它所有的特征值都是正的. 记 Λ 1 2 A =   a 1 2 1 . . . a 1 2m   , 则有 QT AAQA = Λ 1 2 AΛ 1 2 A , 即 (Λ 1 2 A ) −1QT AAQA(Λ 1 2 A ) −1 = Im, 因此令 SA = QA(Λ 1 2 A ) −1 , 有 S T AASA = Im. 令 Be = S T ABSA, 因为 B 是对称矩阵, 所以 Be 也是对称矩阵, 而且唯一存在一个正交矩阵 QB, 满足 QT BBQe B = ΛBe =   λ1 . . . λm   , 式中, λ1, · · · , λm 是 Be 的特征值, 满足 det(Be − λiIm) = 0, i = 1, · · · , m. 也就是 QT BS T ABSAQB =   λ1 . . . λm   . 此处令 S = SAQB = QA(Λ 1 2 A ) −1QB, 即有 S TBS =   λ1 . . . λm   , 3