曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 而且 SAS=QBSAASAQB=QBImQB=Im λ2满足 det(B-AiIm)=det(SABSA-AiSfASa)=det(SA(B-AA)SA=0, 即det(B-入1A)=0 根据同时对角化定理,曲面第一基本形式G是对称正定矩阵,曲面第二基本形式B是对称 矩阵,因此唯一存在一个非奇异矩阵S∈Rm×m,使得 S GS=Im S BS 此处λ满足det(B-AG)=0,i=1,…,m 据此,令 KG=Ai=det(G-b)detB det G 称为 Gauss曲率.令 H=∑A=tr(G-1B 称为平均曲率 2应用事例 3建立路径 本讲稿直接将线性代数中将一个对称正定阵与对称阵同时对角化的结论应用于曲面度量张 量(协变分量矩阵为对称正定阵)与曲率张量(协变分量矩阵为对称阵),以此定义 Gauss 曲率与平均曲率.定义的过程是构造性,由此也直接提供了计算 Gauss曲率与平均曲率的 方法 ·认识上,可以先在数学上明晰Gaus曲率与平均曲率的定义,然后再研究 Gauss曲率与平 均曲率的意义张量分析讲稿谢锡麟 曲面度量张量与曲率张量 谢锡麟 而且 S TAS = QT BS T AASAQB = QT BImQB = Im. λi 满足 det(Be − λiIm) = det(S T ABSA − λiS T AASA) = det[S T A(B − λiA)SA] = 0, 即 det(B − λiA) = 0. 根据同时对角化定理, 曲面第一基本形式 G 是对称正定矩阵, 曲面第二基本形式 B 是对称 矩阵, 因此唯一存在一个非奇异矩阵 S ∈ R m×m, 使得    S TGS = Im, S TBS =   λ1 . . . λm   . 此处 λi 满足 det(B − λiG) = 0, i = 1, · · · , m. 据此, 令 KG = ∏m i=1 λi = det(G−1B) = det B det G , 称为 Gauss 曲率. 令 H = ∑m i=1 λi = tr(G−1B), 称为平均曲率. 2 应用事例 3 建立路径 • 本讲稿直接将线性代数中将一个对称正定阵与对称阵同时对角化的结论应用于曲面度量张 量 (协变分量矩阵为对称正定阵) 与曲率张量 (协变分量矩阵为对称阵), 以此定义 Gauss 曲率与平均曲率. 定义的过程是构造性, 由此也直接提供了计算 Gauss 曲率与平均曲率的 方法. • 认识上, 可以先在数学上明晰 Gauss 曲率与平均曲率的定义, 然后再研究 Gauss 曲率与平 均曲率的意义. 4