当a∈n时又有 a-5(4+E)a-5(4-E)a-0+0-0, 因此n3=0.从而Km=巧⊕. 习题5-3 1.在线性空间R2中，对任意两个向量a=(a1,a2),B-(亿1，b2),定义 (a,8)=5a1b+2a1b2+2a2bh1+a2b2. 验证在此定义下R构成一个欧几里得空间 证明略 2.在线性空间Mn(R)中，定义 fAB)=Tr(ATB)VA,B∈Mn(®). 试问：∫是否Mn(®)的一个内积 解：是设A=(a,B=(,则 间fA团=Tr4r倒=店含a:=含u=fB,A). (b)f(A+B,C)=Tr((A+B)TC)=Tr(ATC+BTC)=Tr(ATC)+Tr(BTC)=f(A.C)+f(B.C). (c)f(kA.B)=Tr((kA)T B)=Tr(kATB)=kTr(ATB)=kf(A.B). @44)=T(4r=≥0，且 f(A,A）=0←→a=0,k,1=1,…,n←→A=0. 所以f是M(®)的一个内积 3.设 /10…0 0 规定 (X,Y)-XTAY VX,Y∈Rm ()证明：R”关于此定义构成一个欧几里得空间： (2)求向量61=(1,0，…，0)，2=(0,1,0，…，0)，…，n=(0,0,…,0,1)的度量矩阵 (3)具体写出这个空间的柯西-布涅柯夫斯基不等式 解：(1)路 (②)度量矩阵为A (3)设a=(a1,…,an),B=(d,…,bn,则 4.设C是一个n阶实可逆矩阵在Rm中，对任意两个列向量X,Y,规定 (X.Y)=xTCTCY 证明R”关于此定义构成一个欧几里得空间 7b α ∈ V1 ∩ V2 RQG α = 1 2 (A + E)α − 1 2 (A − E)α = 0 + 0 = 0, !O V1 ∩ V2 = 0. C% Kn = V1 ⊕ V2.
5–3 1. kt&pq R 2 , ￾
7f α = (a1, a2), β = (b1, b2), M (α, β) = 5a1b1 + 2a1b2 + 2a2b1 + a2b2. }SkOM R 2 u*HfS'Ppq. : i. 2. kt&pq Mn(R) , M f(A, B) = Tr(A TB) ∀A, B ∈ Mn(R). 
: f ) Mn(R) Hf{? : .  A = (aij ), B = (bij ), J (a) f(A, B) = Tr(ATB) = Pn k=1 Pn i=1 akibki = Pn k=1 Pn i=1 bkiaki = f(B, A). (b) f(A+B, C) = Tr((A+B) TC) = Tr(ATC +BTC) = Tr(ATC)+Tr(BTC) = f(A, C)+f(B, C). (c) f(kA, B) = Tr((kA) TB) = Tr(kATB) = k Tr(ATB) = kf(A, B). (d) f(A, A) = Tr(ATA) = Pn k=1 Pn i=1 a 2 ki > 0, ? f(A, A) = 0 ⇐⇒ aki = 0, k, i = 1, · · · , n ⇐⇒ A = 0. #$ f  Mn(R) Hf{. 3.  A =   1 0 · · · 0 0 2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · n   . T (X, Y ) = XTAY ∀X, Y ∈ R n . (1) ST: R n *<OMu*HfS'Ppq; (2) s ε1 = (1, 0, · · · , 0), ε2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , εn = (0, 0, · · · , 0, 1) w ]^, (3) ~%wfpqUV–WXUYdzUV). : (1) i. (2) w ]^" A. (3)  α = (a1, · · · , an), β = (b1, · · · , bn), J ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Xn k=1 kakbk ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6 vuutXn k=1 ka2 k × vuutXn k=1 kb2 k . 4.  C Hf n y2>]^. k R n , ￾
7f X, Y , T (X, Y ) = XTC TCY ST: R n *<OMu*HfS'Ppq. · 7 ·