(b)设a∈yn2,则因a∈，有Aa=0,由a∈2，有Aa=a.于是a=0,即Yn2=0. 因此K=⊕ 11.设K”=⊕，其中，为K"的两个非平凡的子空间. 证明：一定存在唯一的幂等矩阵（即A2=A的矩阵）A∈M(K),使 M={X∈KIAX=0h,={X∈K"IAX=X} 证明：取的一个基a1,…,ar以及的一个基ar+1,…,an:则a4,…,am是K"的基.定义 Km上的线性变换为： -{8in 把线性变换财在K的自然基下的矩阵记为A.由的定义可得P=以，相应地有42=A 对任意的X∈K”,有X=公a,a,则 Ax=(区aa-a)=4a 因此 AX=0→ 2aa4=0a=0r+1i6nXe. AX=X∑ 所以A是满足条件的幂等矩阵. 再证唯一性：如果B∈M(K),使得 BX=0X∈.BX=XX∈6 则因=⊕，可得 (A-B)X=0, 所以A-B=0,从而A=B. 12.设A∈Mn(K),E为n阶单位方阵.令 ={X∈KI(A-E)X=0,={X∈K"I(A+E)X=0 证明：K=©3→A2=E. 证明：（→）K"=⊕→n=dim+dim→n=(n-rank(A-E)+(m-rank(A+ E)→n=rank(A-E)+rank(A+E)→A2-E(题4-8.12). ()对任意的a∈Kn. a=(A+E)a-(A-E)a. 因为 (A-E)(A+E)o-(-E)o-0. 所以号(4+E)a∈M.又因 (A+E)-(A-E)--j(AP-E)o-0 所以-号(A-E)a∈. 因此K"-+, (b)  α ∈ V1 ∩ V2, J! α ∈ V1, G Aα = 0, N α ∈ V2, G Aα = α. < α = 0,  V1 ∩ V2 = 0. !O Kn = V1 ⊕ V2. 11.  Kn = V1 ⊕ V2, < V1, V2 " Kn 7fnx￾pq. ST: H1k,HRV]^ ( A2 = A ]^) A ∈ Mn(K), ' V1 = {X ∈ Kn | AX = 0}, V2 = {X ∈ Kn | AX = X}. : z V1 Hfz α1, · · · , αr $h V2 Hfz αr+1, · · · , αn. J α1, · · · , αn  Kn z. M Kn yt&=J A ": A(αi) = ( 0, 1 6 i 6 r αi , r + 1 6 i 6 n Nt&=J A k Kn gz]^" A. N A M>P A 2 = A, e,mG A2 = A. ￾
 X ∈ Kn, G X = Pn i=1 aiαi . J AX = A ÃXn i=1 aiαi ! = Xn i=1 aiA(αi) = Xn i=r+1 aiαi . !O AX = 0 ⇐⇒ Xn i=r+1 aiαi = 0 ⇐⇒ ai = 0∀r + 1 6 i 6 n ⇐⇒ X ∈ V1, AX = X ⇐⇒ Xn i=r+1 aiαi = Xn i=1 aiαi ⇐⇒ ai = 0∀1 6 i 6 r ⇐⇒ X ∈ V2. #$ A -.12RV]^. S,H&:  B ∈ Mn(K), 'P BX = 0 ∀X ∈ V1, BX = X ∀X ∈ V2, J! Kn = V1 ⊕ V2, >P (A − B)X = 0, ∀X ∈ Kn . #$ A − B = 0, C% A = B. 12. A ∈ Mn(K), E " n y/@^. I V1 = {X ∈ Kn | (A − E)X = 0}, V2 = {X ∈ Kn | (A + E)X = 0}. ST: Kn = V1 ⊕ V2 ⇐⇒ A2 = E. : (⇒) Kn = V1 ⊕ V2 =⇒ n = dim V1 + dim V2 =⇒ n = (n − rank(A − E)) + (n − rank(A + E)) =⇒ n = rank(A − E) + rank(A + E) =⇒ A2 = E (`a 4–8.12). (⇐) ￾
 α ∈ Kn, α = 1 2 (A + E)α − 1 2 (A − E)α. !" (A − E) · 1 2 (A + E)α ¸ = 1 2 (A 2 − E)α = 0, #$ 1 2 (A + E)α ∈ V1. Q! (A + E) · − 1 2 (A − E)α ¸ = − 1 2 (A 2 − E)α = 0, #$ − 1 2 (A − E)α ∈ V2. !O Kn = V1 + V2. · 6 ·