则因 B=∑aaey一a=0 i=1 B-∑a,ae∩y一a+1==an=0=Bew =+1 即W=. 8.设%与吃分别是齐次线性方程组 1+2+…+xn=0与1=x2=…=n 的解空间 证明：Kn=V⊕V%. 证明(a)对任意的a=(a1,…,an)∈Km,令 1a =1 Ca,…n 则3e,7∈，且a=g+所以K品⅓+2 (b)如果a=(a1,…,an)∈n,则 ∑a:=0 01=a2=·=0 解得@1=a2=…=au=0,即a=0.所以n=0. 综上可得K"=⊕ 9.设W={A∈M(K)1AF=A,W2={A∈Mn(K)IAT=-A. 证明M(K)-形⊕W2. 证明：(a)对任意的n阶矩阵A∈Mn(K),有 A=2(A+A)+2(A-A), 而(4+A)∈W,(A-AT)∈W2,所以M(K)=W+W2: b)设AEWinw.则 -A=AT=A, 由2A=0可得A=0.所似Wn形2=0. 最终得到M.(K)=W1ΦW2. 10.设A∈Mn(K)且A2=A,令 ={X∈K"|AX=0,=(X∈Km|AX=X. 证明：K-巧⊕ 证明(a)设a∈K",则a=(a-Aa)+Aa.而 A(a-Aa)=Aa-A2a=Aa-Aa=0,所以a-Aa∈M, A(Aa)-A2a=Aa,所以Aa∈， 从而K”=巧+： 5J! β = Xn i=1 aiαi ∈ Vj ⇐⇒ aj = 0, β = Xn i=1 aiαi ∈ \n j=r+1 Vj ⇐⇒ ar+1 = · · · = an = 0 ⇐⇒ β ∈ W.  W = Tn j=r+1 Vj . 8.  V1 B V2 Ht&@AB x1 + x2 + · · · + xn = 0 B x1 = x2 = · · · = xn -pq. ST: Kn = V1 ⊕ V2. : (a) ￾
 α = (a1, · · · , an) ∈ Kn, I β = Ã a1 − 1 n Xn i=1 ai , a2 − 1 n Xn i=1 ai , · · · , an − 1 n Xn i=1 ai ! , γ = Ã 1 n Xn i=1 ai , 1 n Xn i=1 ai , · · · , 1 n Xn i=1 ai ! , J β ∈ V1, γ ∈ V2, ? α = β + γ. #$ Kn = V1 + V2. (b)  α = (a1, · · · , an) ∈ V1 ∩ V2, J Xn i=1 ai = 0, a1 = a2 = · · · = an -P a1 = a2 = · · · = an = 0,  α = 0. #$ V1 ∩ V2 = 0. Qy>P Kn = V1 ⊕ V2. 9.  W1 = {A ∈ Mn(K) | AT = A}, W2 = {A ∈ Mn(K) | AT = −A}. ST: Mn(K) = W1 ⊕ W2. : (a) ￾
 n y]^ A ∈ Mn(K), G A = 1 2 (A + A T) + 1 2 (A − A T), % 1 2 (A + AT) ∈ W1, 1 2 (A − AT) ∈ W2, #$ Mn(K) = W1 + W2. (b)  A ∈ W1 ∩ W2, J −A = A T = A, N 2A = 0 >P A = 0. #$ W1 ∩ W2 = 0. P Mn(K) = W1 ⊕ W2. 10.  A ∈ Mn(K) ? A2 = A, I V1 = {X ∈ Kn | AX = 0}, V2 = {X ∈ Kn | AX = X}. ST: Kn = V1 ⊕ V2. : (a)  α ∈ Kn, J α = (α − Aα) + Aα. % A(α − Aα) = Aα − A 2α = Aα − Aα = 0, #$ α − Aα ∈ V1, A(Aα) = A 2α = Aα, #$ Aα ∈ V2, C% Kn = V1 + V2. · 5 ·