2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 f(5)=3a+2a=5a. (2)若f(x)为周期函数,且周期T=2,则∫(3)=f(1),则3a=a,a=0。 例112若y=f(x)的图形有对称轴x=a和x=b,(a<b),证明y=f(x)为周期函数 【证】由y=f(x)的图形有对称轴x=a和x=b,则应有 ∫(a-x)=∫(a+x),(将x视为参数) 令a-x=t,则有∫(t)=f(2a-1),另外又有∫(b-x)=∫(b+x),同理可有 ∫(t)=∫(2b-t),于是得到∫(2b-1)=f(2a-1),由此令2a-t=u可得到 ∫(u)=∫(u+2(b-a),或记为∫(x)=f(x+2(b-a)),注意到2(b-a)>0 所以y=f(x)为周期函数,且周期为T=2(b-a) 例113设f(x)的定义域为[01,则函数f(x+4)+f(x-4)的定义域是() (A)0°(B)、1 【解】答案(D)。用变量置换法,分别考察f(x+)和f(x-)的定义域 出两个函数的定义域的交集 例1.14y=丌+ arctan=的反函数是() (C)y=2tan,I∈(3分 (A)y=2tan(x-丌),x∈ )(B)y=tan,x∈(,) D)y=tanx,x∈( 【解】答案(A)。由y=丌+ arctan解出x=2tan(y-丌),调换x和y的位置, 2 变成y=2tan(x-丌),由对偶性,定义域即为y=丌+ arctan的值域: x≤0 例1.15设f(x) 则() +x,x>0 刘坤林编水木艾迪考研培训网 Kti:www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 f (5) = 3a + 2a = 5a. （2）若 f (x) 为周期函数,且周期T = 2 ,则 f (3) = f (1) ，则3a = a, a = 0 。 例 1.12 若 y = f (x)的图形有对称轴 x = a 和 x = b,(a < b) , 证明 y = f (x)为周期函数。 【证】由 y = f (x)的图形有对称轴 x = a 和 x = b，则应有 f (a − x) = f (a + x) ，（将 x 视为参数） 令a − x = t ，则有 f (t) = f (2a − t)，另外又有 f (b − x) = f (b + x) ，同理可有 f (t) = f (2b − t) ，于是得到 f (2b − t) = f (2a − t) ，由此令 2a − t = u 可得到 f (u) = f (u + 2(b − a)) ，或记为 f ( x) = f ( x + 2(b − a)) ，注意到 2(b − a) > 0 ， 所以 y = f (x)为周期函数，且周期为T = 2(b − a) 。 例 1.13 设 f (x) 的定义域为[0,1] ,则函数 ) 4 1 ) ( 4 1 f (x + + f x − 的定义域是( ) (A) [0,1]。 (B) ] 4 5 , 4 1 [− 。 (C) ] 4 1 , 4 1 [− 。 (D) ] 4 3 , 4 1 [ 。 【解】 答案 ( D )。用变量置换法，分别考察 ) 4 1 ) ( 4 1 f (x + 和 f x − 的定义域， 求出两个函数的定义域的交集。 例 1.14 2 arctan x y = π + 的反函数是( ). (A) ) 2 3 , 2 2 tan( ), ( π π y = x − π x ∈ (B) ) 2 , 2 , ( 2 tan π π = x ∈ x y (C) ) 2 3 , 2 , ( 2 2 tan π π = x ∈ x y (D) ) 2 , 2 tan , ( 2 1 π π y = x x ∈ 【解】 答案 ( A)。由 2 arctan x y = π + 解出 x = 2 tan(y − π ) , 调换 x和 y 的位置, 变成 y = 2 tan(x − π )，由对偶性，定义域即为 2 arctan x y = π + 的值域： ) 2 3 , 2 ( π π 。 例 1.15 设 , 则（ ）。 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + > ≤ = , 0 , 0 ( ) 2 2 x x x x x f x 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：8 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805