2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 【解】将将直角坐标的极坐标式代入曲线方程(x-a)2+y2=a2(a>0),经化简可得 p=2 a cos y,(-≤q≤x) 注:事实上,由作图,利用三角函数可立即得到上述结果 读者可将曲线x2+y2-2ay=0(a>0)转化为极坐标方程p=2 a g,(0≤g≤x)。 又如x=3的极坐标方程p oS p 例18设∫(x)为连续函数,d(x)为正定偶函数,则f(y(x)为() (A)奇函数。(B)偶函数,但未必是定号函数。(C)正定偶函数。(D)不定 【解】答案为(B)。连续函数以偶函数为中间变量生成的复合函数仍为偶函数。 例1.10考察下列函数的奇偶性 ()(x)=lm(x+√x2+1);(2)y(x)=f(x) 其中f(x)为奇函数 2x+12 e +e (3)f(x) (奇) 【解】(1)f(-x)=ln(-x+√x2+1)=-lm(x+√x2+1)=-f(x),因此f(x)为奇 (2)只须考察g(x)= 2x+17的奇偶性 2-x+122x+1222x+1 y(x)为两个奇函数乘积,必为偶函数。 (3)显然有∫(-x)=-f(x),因此∫(x)为奇函数。 例1.11设f(x)为(-∞,∞)上的奇函数.已知∫(1)=a,Vx∈(-∞,∞)有 f(x+2)=f(x)+f(2 (1)求f(5) (2)若f(x)为周期函数,且周期T=2,求常数a 【解】(1)令x=3,∫(5)=∫(3)+f(2)。再令x=-1,得到∫(1)=f(-1)+f(2), 又因f(x)为奇函数,所以∫(2)=2f(1)=2a,f(3)=∫(1)+f(2)=3a,于是 刘坤林编水木艾迪考研培训网 Kftwww.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 【解】将将直角坐标的极坐标式代入曲线方程( 0 ) ( )，经化简可得 2 2 2 x − a + y = a a > ) 2 2 2 cos , ( π ϕ π ρ = a ϕ − ≤ ≤ . 注：事实上，由作图，利用三角函数可立即得到上述结果。 读者可将曲线 2 0 ( 0) 转化为极坐标方程 2 2 x + y − ay = a > ρ = 2a sinϕ, (0 ≤ ϕ ≤ π ) 。 又如 x = 3的极坐标方程 2 2 , cos 3 π ϕ π ϕ ρ = − < < 。 例 1.8 设 f (x) 为连续函数, φ(x) 为正定偶函数, 则 f (φ(x)) 为（ ）。 (A) 奇函数。(B) 偶函数, 但未必是定号函数。(C) 正定偶函数。 (D) 不定。 【解】答案为(B)。连续函数以偶函数为中间变量生成的复合函数仍为偶函数。 例 1.10 考察下列函数的奇偶性 (1) ( 1 ) ln( ) 2 f x = x + x + ;(2) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 2 1 2 1 1 ( ) ( ) x y x f x ,其中 f (x) 为奇函数. (3) x x x x e e e e f x − − − + ( ) = ,(奇) 【解】（1） f (−x) = ln(−x + x + 1) = −ln( x + x + 1) = − f (x) 2 2 ，因此 为奇 函数。 f ( x) （2）只须考察 2 1 2 1 1 − + = x g(x) 的奇偶性。 g( x) g(x) x x x x = − + − = − + − = + − = − 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 ， y( x) 为两个奇函数乘积，必为偶函数。 （3） 显然有 f (− x) = − f ( x) ，因此 f ( x) 为奇函数。 例 1.11 设 f (x) 为(−∞,∞) 上的奇函数. 已知 f (1) = a,∀x ∈ (−∞,∞) 有 f ( 2 x + 2) = f (x) + f ( ) 。 (1) 求 f (5) ; (2) 若 f (x) 为周期函数,且周期T = 2 ,求常数a 。 【解】（1）令 x = 3， f ( 2 5) = f (3) + f ( ) 。再令 x = −1 ，得到 f ( 2 1) = f (−1) + f ( )， 又因 f ( x) 为奇函数，所以 f (2) = 2 f (1) = 2a ， f (3) = f (1) + f (2) = 3a ，于是 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：7 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805