临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 10.若x}无界,且非无穷大量,则必存在两个子列x→,xm→a(a为有限数 1l.有界数列{xn}若不收敛,则必存在两个子列x→>a,xm→b(α≠b) 12.求证:数列{an}有界的充要条件是,{an}的任何子数列{an}都有收敛的子数列 13.设f(x)在[a,b]上定义,且在每一点处函数的极限存在,求证:f(x)在[a,b]上 有界 14.设∫(x)在[a,b]无界,求证:存在c∈[a,b],对任给δ>0,函数f(x)在 (c-d,c+o)∩[a,b]上无界 15.设∫(x)是(a,b)上的凸函数,且有上界,求证:limf(x),imf(x)存在 16.设∫(x)在[a,b]上只有第一类间断点,定义 O(x)=f(x+0)-f(x-0) 求证:任意E>0,(x)≥E的点x只有有限多个 17.设∫(x)在[O,+∞)上连续且有界,对任意a∈(-∞,+∞),f(x)=a在[0,+∞)上 只有有限个根或无根,求证:Iimf(x)存在 18,设∫(x)在(a,b)连续,求证:f(x)在(a,b)一致连续的充要条件是 limf(x)与limf(x)都存在, 19.求证数列x=11 √2 +一产=当n→>∞时的极限不存在 20.利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性: (1)x=ao+a, 9+a,9++a, (qkl,lak ksM) 2 sIn n 21.证明lmf(x)存在的充要条件是:对任意给定E>0,存在δ>0,当 04x2-x0kd,04x"-x0k<6时,恒有临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 10．若{ }n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 , k k n m x → ∞ x → a ( a 为有限数)． 11．有界数列{ }n x 若不收敛，则必存在两个子列 , ) k k n m x → → a x b (α ≠ b ． 12．求证：数列{an}有界的充要条件是，{an}的任何子数列{ank }都有收敛的子数列． 13．设 在[ , 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证： 在[ , 上 有界． f x( ) a b] f x( ) a b] 14．设 f x( ) 在 [ , a b] 无界，求证：存在 c a ∈[ ,b] ，对任给 δ > 0 ，函数 f x( ) 在 ( , c c − + δ δ ) ∩[a,b]上无界． 15．设 f x( ) 是( , a b)上的凸函数，且有上界，求证： lim ( ), lim ( ) x a x b f x f → → + − x 存在． 16．设 f x( ) 在[ , a b]上只有第一类间断点，定义 ω( ) x f =| (x + − 0) f (x − 0) | . 求证：任意ε > 0,ω(x) ≥ ε ) 的点 x 只有有限多个． 17．设 f x( ) 在[0,+∞) 上连续且有界，对任意 a ∈( , −∞ +∞ ， 在[0 上 只有有限个根或无根，求证： f x( ) = a ,+∞) lim ( ) x f x →+∞ 存在． 18，设 f x( ) 在( , a b)连续，求证： f x( ) 在( , a b)一致连续的充要条件是 lim ( ) x a f x → + 与 lim ( ) x b f x → − 都存在， 19．求证数列 1 1 1 2 n x n = + +L+ 当 n → ∞时的极限不存在． 20．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1) 0 1 2 (| | 1,| | ); n n n k x = + a a q + a q +L+ a q q < a ≤ M (2) 2 sin1 sin 2 sin 1 ; 2 2 2 n n n x = + + +L+ (3) 1 1 1 1 1 ( 1 2 3 n n x n + = − + +L+ − ) . 21 ．证明 0 lim ( ) x x f x → 存在的充 要条件是 ：对任意 给 定 ε > 0 ，存在 δ > 0 ， 当 0 0 0 < − | x x ' |< δ , 0 <| x ''− x |< δ 时，恒有 - 6 -