临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 注本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚 五、复习题 1.求数列{Jn}的上、下确界 (2)xn=n[2+(-2)"] (3)x2k=k,x2k41=1+(k=1,2,3,) (4)xn=1+(-/+1 n (5)xn +2m(-1) n-1 2nT (6)x= COS n+1 2.设∫(x)在D上定义,求证: (1)sup-f(x)=-inf f(x); (2)inf(-f(x)=-supf(r 3.设B=supE,且βgE,试证自E中可选取数列{xn}且x互不相同,使 imxn=B;又若B∈E,则情形如何? 4.试证收敛数列必有上确界和下确界,趋于+∞的数列必有下确界,趋于-∞的数列 必有上确界 5.试分别举出满足下列条件的数列: (1)有上确界无下确界的数列 2)含有上确界但不含有下确界的数列 (3)既含有上确界又含有下确界的数列 (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列,其中上、下确界都有限. 6.利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4. 7.利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限 8.用区间套定理证明单调有界数列必有极限. 9.试分析区间套定理的条件:若将闭区间列改为开区间列,结果怎样?若将条件 a1,b]→{a2,b]彐…去掉或将条件b-an→>0去掉,结果怎样?试举例说明临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 注 本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚． 五、复习题 1．求数列{Jn}的上、下确界： (1) 1 1 ; n x n = − (2) [2 ( 2) ]; n n x n = + − (3) 2 2 1 1 , 1 ( 1, 2,3, k k x k x k k = + = + = L); (4) 1 [1 ( 1) ] ; n n n x n + = + − (5) ( 1) 1 2 ; n n n n x − = + (6) 1 2 cos . 1 3 n n n x n − π = + 2．设 f x( ) 在 D 上定义，求证： (1) sup{ ( )} inf ( ); x D x D f x f ∈ ∈ − = − x (2) inf{ ( )} sup ( ). x D x D f x f ∈ ∈ − = − x 3．设 β = sup E ，且 β ∉ E ，试证自 E 中可选取数列 { }n x 且 n x 互不相同，使 lim n x x β →∞ = ；又若 β ∈ E ，则情形如何? 4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于 +∞ 的数列必有下确界，趋于 的数列 必有上确界． −∞ 5．试分别举出满足下列条件的数列： (1) 有上确界无下确界的数列； (2) 含有上确界但不含有下确界的数列； (3) 既含有上确界又含有下确界的数列； (4) 既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 6．利用有限覆盖定理 9．2 证明紧致性定理 9．4． 7．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 8．用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 9．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件 [ , a b 1 1] ⊃ [a2 ,b2 ] ⊃L去掉或将条件 0 n n b a − → 去掉，结果怎样?试举例说明． - 5 -