临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 例4设在闭区间叵]上函数∫(x)连续,g(x)递增,且有∫(a)<g(a)f(b)>g(b 试证明:方程f(x)=g(x)在区间(ab)内有实根.(西北师大2001年硕土研究生入 学试题 证明:构造区间套{nb,使f(an)<g(an)/(bn)>gbn)由区间套定理,35 使对Ⅶn,有E∈[anbn].现证f()=g().事实上,由g(x)在[ab]上的递增性和 anb]的构造以及an个5和bn↓5,有 f(an)<g{(an)≤g()≤g(bn)<f(bn) 注意到∫(x)在点连续,由 Heine归并原则,有 lim f(a)=() limf(b)=s f()≤g()≤f(),→f(5)=g().5为方程∫(x)=g(x)在区间(ab)内的实根 例5试证明:区间]上的全体实数是不可列的 证明:(用区间套技术,具体用反证法)反设区间[0]上的全体实数是可列的,即可 排成一列: 把区间[01三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含x,记该区间为一级区间 a,b].把区间[a,b]三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含x2,记该区间为二级 区间[a2,b2].依此得区间套{anbn]},其中区间{anbn]不含x,x12…,xn,由区间套定理, 35,使对Ⅶn,有∈[nbn]当然有e[0,1]但对Ⅶn有x0g{nb]而 5∈gnb→xn≠5,矛盾临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 例 4 设在闭区间[a,b]上函数 f (x) 连续, g(x) 递增 ,且有 f (a) ( < g a), f (b) > g(b). 试证明: 方程 f ( ) x = g(x)在区间(a,b)内有实根 . （ 西北师大 2001 年硕士研究生入 学试题 ） 证明：构造区间套{ } [ ] an ,bn ,使 ( ) ( ) ( ) ( ) n n bn g bn f a < g a , f > .由区间套定理, ∃ξ , 使对∀n , 有 [an bn ξ ∈ , ]. 现证 f (ξ ) = g(ξ ). 事实上, 由 g(x)在[a,b]上的递增性和 [ 的构造以及 和 , 有 an bn , ] an ↑ ξ bn ↓ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n bn f a < g a ≤ g ξ ≤ g b < f . 注意到 f (x) 在点 连续，由 Heine 归并原则, 有 f ( ) a f (ξ ) f (b ) f (ξ ) n n n n = = →∞ →∞ lim ,lim ⇒ f ( ) ξ ≤ g(ξ ) ≤ f (ξ ), ⇒ f ( ) ξ = g(ξ ).ξ 为方程 f (x) = g(x)在区间( )内的实根. ] a,b 例 5 试证明:区间[0,1 上的全体实数是不可列的 . 证明：( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间[0,1]上的全体实数是可列的,即可 排成一列: x1 , x2 ,L, xn ,L 把区间[ 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含 ，记该区间为一级区间 . 把区间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含 ，记该区间为二级 区间[ ..依此得区间套 , 其中区间 ] ] ] ] ]} 0,1 1 x [ 1 1 a ,b [ 1 1 a ,b 2 x 2 2 a ,b {[an bn , [ ] an bn , 不含 .由区间套定理, n x , x , , x 1 2 L ∃ξ , 使对∀n , 有 [an bn ξ ∈ , ]. 当然有 .但对∀n 有 [ ] an bn x , 0 ∉ 而 [ ] an bn ξ ∈ , , ⇒ xn ≠ ξ . 矛盾 . - 4 -