临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 证法一:(用确界技术.参阅[3]P76例10证法1 设集合F=(x)2xa≤x≤b}.则a∈F,F不空;Fc[]F有界,由确界 原理,F有上确界.设x=supF,则x0=下证f(x)=x i>若x0∈F,有∫(x)≥x;又∫(x)≤f(b)≤b,得∫(x)∈[b]由 f(x)递增和f(x0)≥x,有f((x0)≥f(x),可见f(x0)∈F.由x0=supF,→ f(x0)≤x0,于是,只能有f(x)=x0 ⅱ>若x0gF,则存在F内的数列{n},使xn↑x0,(n→∞);也存在数列 n},x0<Ln≤b,ln↓xn,(→∞).由∫递增,xn∈F以及nEF,就有式 xn≤f(xn)≤f(x0)≤f(n)<tn对任何n成立.令n→,得x0≤f(x0)≤x0于是有 证法二(用区间套技术,参阅[3]P7例10证法2)当∫(a)=a或∫(b)=b时,a 或b就是方程∫(x)=x在[ab]上的实根.以下总设/(a)>a,f(b)<b.对分区间 ab],设分点为c.倘有f()=c,c就是方程f(x)=x在[b上的实根(为行文简练 计,以下总设不会出现这种情况).若f()>c,取a1=c,b1=b;若f()<c,取 a1=ab=C,如此得一级区间[a,]依此构造区间套nb,对v,有 f(an)>an,∫(bn)<b由区间套定理,丑x,使对任何n,有x∈[anbn]现证 f(x0)=x.事实上,注意到n→∞时an↑x和bn↓x0以及∫递增,就有 f(an)≤/(x0)≤f(bn)<b 令 得x0≤f(x0)≤x0于是有f(x)=x临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 证法一: ( 用确界技术 . 参阅[3] P76 例 10 证法 1 ) 设集合 F = {x f ( ) x ≥ x,a ≤ x ≤ b}. 则a ∈ F, F 不空 ; F ⊂ [a,b],F 有界 .由确界 原理 , F 有上确界. 设 x0 = sup F , 则 x [a,b] 0 = .下证 ( ) 0 0 f x = x . ⅰ> 若 x0 ∈ F , 有 f ( ) x0 ≥ x0 ; 又 f (x0 ) ≤ f (b) ≤ b , 得 f (x0 )∈[a,b]. 由 f (x) 递增和 f ( ) x0 ≥ x0 , 有 ( ) ( ) ( ) 0 0 f f x ≥ f x , 可见 f (x0 )∈ F . 由 , . 于是 , 只能有 x0 = sup F ⇒ ( ) 0 0 f x ≤ x ( ) 0 0 f x = x . ⅱ> 若 x0 ∉ F , 则存在 F 内的数列{xn }, 使 , 0 x x n ↑ (n → ∞); 也存在数列 { }, ， , ( ) nt x0 < tn ≤ b 0 t x n ↓ n → ∞ . 由 f 递增, xn ∈ F 以及tn ∉ F , 就有式 xn ≤ f ( ) xn ≤ f (x0 ) ≤ f (tn ) < tn 对任何 n 成立 . 令n → ∞ , 得 ( ) 0 0 0 x ≤ f x ≤ x 于是有 ( ) . 0 0 f x = x 证法二: ( 用区间套技术, 参阅[3] P77 例 10 证法 2 ) 当 f (a) = a 或 时, 或b 就是方程 f ( ) b = b a f ( ) x = x 在[a,b]上的实根 . 以下总设 f (a) > a ， f (b) < b . 对分区间 [a,b], 设分点为c . 倘有 f ( ) c = c , c 就是方程 f (x) = x 在[a,b]上的实根.(为行文简练 计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若 f (c) > c , 取a = c b = b 1 1 , ; 若 , 取 , 如此得一级区间[ . 依此构造区间套 f ( ) c < c a = a b c 1 , 1 = ] 1 1 a ,b {[an ,bn ]}, 对 ,有 ， . 由区间套定理, ∀n ( ) an an f > ( ) bn bn f < 0 ∃x , 使对任何 n ,有 [ ] an bn x , 0 ∈ . 现证 f ( ) x0 = x0 . 事实上, 注意到n → ∞ 时 和 以 及 递增, 就有 0 a x n ↑ 0 b x n ↓ f ( ) ( ) ( ) n n bn bn a ≤ f a ≤ f x0 ≤ f < . 令 n → ∞ , 得 x0 ≤ f ( ) x0 ≤ x0 于是有 ( ) 0 0 f x = x . - 3 -