临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 2)设{an,bn]}为一区间套 欲证:35∈{an,b]n=12,…且惟 证明:证明思想:构造一个单调有界数列,使其极限即为所求的5 为此,可就近取数列{n}(或{}).由于 a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b, 因此{an}为递增数列,且有上界(例如b1).由单调有界定理,存在 lim a=5,且 又因bn=(bn-an)+an,而lim(bn-an)=0,故 lim b,= lim(b -a,)+lim,=0+5=5 且因{n}递减,必使bn≥5.这就证得∈anbn]}n=12, 最后,用反证法证明如此的占惟一事实上,倘若另有一个5∈{an,bn]n=12 则由 5-s(bn-an)→0(m→∞) 导致与-5>0相矛盾 例2用确界定理证明区间套定理.即已知: 1)确界定理成立(非空有上界的数集必有上确界) 2)设{an,b为一区间套 欲证:存在惟一的点∈anbn]n=12, 证明:证明思想:给出某一数集S,有上界,使得S的上确界即为所求的ξ 为此,取S={an},其上界存在(例如b).由确界定理,存在5=sup{an} 首先,由为{an}的一个上界,故an≤5,n=12,…,再由是{n}的最小上界,倘 有某个bn<5,则bn不会是{an}的上界,即彐a>bn,这与{anb为区间套相矛盾 a,b,)。所以任何b≥5.这就证得 an≤5≤bn,n=1 关于5的惟一性,与例1中的证明相同 例3设f(x)是闭区间[ab]上的递增函数,但不必连续.如果 f()2a,f()≤b,则3xo∈[ab],使f(x0)=x0,(山东大学研究生入学试题)临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 2 ）设{[an ,bn ]}为一区间套． 欲证：∃ξ ∈{ } [ ] an ,bn ,n = 1,2,L且惟一． 证明： 证明思想：构造一个单调有界数列，使其极限即为所求的ξ ． 为此，可就近取数列{an }（或{bn }）．由于 , a1 ≤ a2 ≤ L ≤ an ≤ L ≤ bn ≤ L ≤ b2 ≤ b1 因此 {an }为递增数列，且有上界（例如 b1 ）．由单调有界定理，存在 = ξ →∞ n n lim a ，且 an ≤ ξ, n = 1, 2,L． 又因 ( ) bn = bn − an + an ，而 lim( − ) = 0 →∞ n n n b a ，故 = − + = + ξ = ξ →∞ →∞ →∞ lim lim( ) lim 0 n n n n n n n b b a a ； 且因{bn }递减，必使bn ≥ ξ ．这就证得ξ ∈{[an ,bn ]}, n = 1,2,L． 最后，用反证法证明如此的ξ 惟一．事实上，倘若另有一个ξ' ∈{[an ,bn ]}, n = 1,2,L， 则由 ξ − ξ′ ≤ ( b − a ) → 0 (n → ∞) n n ， 导致与 0 ' ξ − ξ > 相矛盾． 例 2 用确界定理证明区间套定理．即已知： 1 ） 确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）； 2 ） 设{[an ,bn ]}为一区间套． 欲证：存在惟一的点ξ ∈{ } [ ] an ,bn , n = 1,2,L． 证明： 证明思想：给出某一数集 S ，有上界，使得 S 的上确界即为所求的ξ ． 为此，取 S = {an }，其上界存在（例如b1 ）．由确界定理，存在ξ = sup{an }． 首先，由ξ 为{an }的一个上界，故 an ≤ ξ,n = 1,2,L．再由ξ 是{an }的最小上界，倘 有某个 bm < ξ ，则 bm 不会是{an }的上界，即 ∃ak > bm ，这与{[an ,bn ]}为区间套相矛盾 ( ) ai bj , 。所以任何bn ≥ ξ ．这就证得 an ≤ ξ ≤ bn , n = 1, 2,L ． 关于ξ 的惟一性，与例 1 中的证明相同． 例 3 设 是闭区间[ 上的递增函数, 但不必连续 . 如果 则 ,使 f (x) ] ] a,b f ( ) a ≥ a, f (b) ≤ b, ∃x0 ∈[a,b ( ) 0 0 f x = x .(山东大学研究生入学试题) - 2 -