临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第七章实数的完备性 基本概念 1.对每个E>0,都能找到一个自然数N,对一切n,m≥N,成立不等式xn-x1<E 则称{xn}为( cauchy)基本数列,记作lim(xn-xm)=0 2.数列{xn},若{xn}:xn→a(k→∞),则称a是数列{xn}的一个极限点。如点 例{-)}有2个极限点。数列{x}的最大(最小)极限点如果存在,则称为该数列的上(下) 极限,并记为 limx( lim x) 二、基本定理 1.设q(x)是ab上压缩映射,且φ([a,b])c[a,b],则p(x)在ab]上存在唯一的不动 2.每个数列{xn}的上极限和下极限必定唯一,且 limx sup{xn,xn1,…}= limsupx, lim x=inf{x2,xn+12…}= lim inf x。 3.{xn}存在极限则{xn}的上极限和下极限相等,即 limx= lim x= lim x。 4若开区间族{O}覆盖了有界必区间ab,即bUO,则从{O}中必可挑出有 限个开区间Oa,…,O,统一覆盖了abl。即ab=On∪…UO.。 三、基本要求 1.掌握六个基本定理,能准确地加以表述,并深刻理解其实质意义 2.明确基本定理是数学分析的理论基础,并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的 基本性质和一些有关命题,从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力 四、典型例题 例1用单调有界定理证明区间套定理.即已知 1)单调有界定理成立临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第七章 实数的完备性 一、基本概念 1. 对每个ε >0，都能找到一个自然数 N ，对一切 n,m ≥ N ，成立不等式 n m x x − < ε ， 则称{ }n x 为（cauchy）基本数列，记作 , lim ( ) 0 n m n m x x →∞ − = 。 2. 数列{ }n x ，若{ } k n x ： k n x → a（k → ∞ ），则称a 是数列{ }n x 的一个极限点。如点 例{( 1) }n − 有 2 个极限点。数列{ }n x 的最大（最小）极限点如果存在，则称为该数列的上（下） 极限，并记为 lim n n x →∞ （ lim n n x →∞ ）。 二、基本定理 1. 设ϕ(x) 是[a,b]上压缩映射，且ϕ([a b, ]) ⊂ [a,b]，则ϕ(x) 在[a,b]上存在唯一的不动 点。 2. 每个数 列 { }n x 的 上 极限和 下极限 必定唯 一 ， 且 lim n n x →∞ ＝ 1 sup{ , , } limsup n n k n k n x x x + →∞ ≥ L = ， lim n n x →∞ ＝ 1 inf{ , , } liminf n n k n k n x x x + →∞ ≥ L = 。 3. { }n x 存在极限则{ }n x 的上极限和下极限相等，即 lim n n x →∞ ＝ lim n n x →∞ ＝ lim n n x →∞ 。 4. 若开区间族{Oα} 覆盖了有界必区间[a,b]，即[a,b] Oα α ⊂ U ，则从{Oα} 中必可挑出有 限个开区间 1 , , n Oα L Oα ，统一覆盖了[a,b]。即[a,b]= 1 n O O α ULU α 。 三、基本要求 1. 掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2. 明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的 基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 四、典型例题 例 1 用单调有界定理证明区间套定理．即已知： 1 ） 单调有界定理成立； - 1 -