运城学院应用数学系2020年6月抽象代数试题及答案(B) 解答题（每小题10分，共100分） 123456 1、将置换o= 分解为不相连轮换的乘积，并求它的阶。 635421 解a-人}4S1603阶为6：10分 2、在整数集Z上定义两个运算：a①b=a+b-1,aob=a+b-ab,则Z关于这 两个运算是环，计算(2.2)⊕2。 解：(2.2)①2=(2+2-2×2)田2=0①2=0+2-1=1.10分 3、设群G=(a,且a=12,写出G的所有子群。 解：G的子群共6个，{e}、(a〉={e,a}、(a〉={e,a,a}、(a)={e,a,a,a}、 a2)={e,a2,a,a,a3,a0}、G。.10分 4、求Z6中所有可逆元的逆。 解：1、5的逆为自身。.10分 5、设群G=(a,且a=8，,写出AutG。 解：G=e,网风，g},其中E=eaaa。da5a） le a a2 a3aaasa月 o=e aaaaa d a le a a2 aa as as a ea3a6aa4a7a2a5/’h e a a2 a a'a as a ea aaa dd a e aaa a'aaa 。.10分 6、若a是群G中唯一的2阶元素，证明a是中心元。 证明：对任意的x∈G,有xa=2,由2阶元的唯一性得xaxl=a,即xa=ax, 所以a是中心元。...10分 7、设p是从群G到群G的满同态映射，且G是循环群G=(),证明G也是循环 群。 证明：记a=p(a),下面证明G=(a)。显然(a)sG。另一方面，任取x∈G,则 存在xeG,使得x=p(x):由于G=(a),所以存在整数m使得x=a",所以 x=p(x)=p(a")=(p(a)"=am∈(@〉，即(a)2G。从而G=(@),G也是循环群。.10 分运城学院应用数学系 2020 年 6 月抽象代数试题及答案（B） 解答题（每小题 10 分，共 100 分） 1、将置换 1 2 3 4 5 6 6 3 5 4 2 1         分解为不相连轮换的乘积，并求它的阶。 解： 1 2 3 4 5 6 6 3 5 4 2 1         =(16)(235)，阶为 6。......10 分 2、在整数集 Z 上定义两个运算： a b a b    1，a b a b ab    ，则 Z 关于这 两个运算是环，计算 (2 2) 2  。 解： (2 2) 2 (2 2 2 2) 2 0 2 0 2 1 1             。......10 分 3、设群 G a    ，且 a 12 ，写出 G 的所有子群。 解：G 的子群共 6 个， {}e 、 6 6    a e a { , }、 4 4 8    a e a a { , , }、 3 3 6 9    a e a a a { , , , }、 2 2 4 6 8 10    a e a a a a a { , , , , , }、G。......10 分 4、求 Z6 中所有可逆元的逆。 解： 1、5的逆为自身。 ......10 分 5、设群 G a    ，且 a  8 ，写出 AutG。 解： 1 2 3 AutG { , , , }     ，其中 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 e a a a a a a a e a a a a a a a         ， 2 3 4 5 6 7 1 3 6 4 7 2 5 e a a a a a a a e a a a a a a a         ， 2 3 4 5 6 7 2 5 2 7 4 6 3 e a a a a a a a e a a a a a a a         ， 2 3 4 5 6 7 3 7 6 5 4 3 2 e a a a a a a a e a a a a a a a         。......10 分 6、若 a 是群 G 中唯一的 2 阶元素，证明 a 是中心元。 证明：对任意的 x∈G，有 1 xax a 2    ，由 2 阶元的唯一性得 xax -1 =a，即 xa=ax， 所以 a 是中心元。……10 分 7、设 φ 是从群 G 到群 G 的满同态映射，且 G 是循环群 G a    ，证明 G 也是循环 群。 证明：记 a a ( ) ，下面证明 G a    。显然    a G 。另一方面，任取 x G ，则 存在 x G ，使得 x x ( ) ；由于 G a    ，所以存在整数 m 使得 x=a m，所以 ( ) ( ) ( ( )) m m m x x a a a a          ，即    a G 。从而 G a    ，G 也是循环群。……10 分