8、设G是交换群，n是正整数，G中所有阶整除n的元素组成集合H,证明H 是G的子群。 证明：对任意的a,b∈H,有aA,由G是交换群得(ab)”abe,所以abn, 即ab∈H,又由la=a得an,所以a∈H。故H是G的子群。l0分 9、证明数集Z√-2]={a+b√-2a,b∈Z关于数的加法与乘法构成一个有单位 元的交换环。（注：√-2=√2i,其中i为虚数单位） 证明：1)任给a=a+b√-2，B=c+d√-2∈Z[√-2]，a,b,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)-2∈Z[N-2] a邱=(ac-2bd+(ad+bc)√-2∈ZI√-2] 所以，数的加法与乘法是Z√-2]的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z、√-2]的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0√-2∈Z[√-2]，且对任意的a=a+b√-2∈Z[√-2]，有0+a= a+0=α，所以0为Z[√-2]的零元。2分 4)对任意的a=a+b√-2∈Z[-2],有-a=-a-b√-2=(-a)+(b) √-2∈Z√-2]，且a+(-a)=0,所以，a=a+bV-2∈Z[V-2]的负元为(-a)+(-b) √-2∈Z-2]。2分 5)因为1=1+0√-2∈Z-2],且对任意的a=a+bN-2∈Z√-2]，有1a=al =a,所以数1为ZV-2]的单位元。2分 证毕。 10、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换。 正方形的四个顶点分别用1、2、3、4来表示（如图），于是正方形的每一对称变换 可用一个4元置换来表示。 绕中心O旋转90度（逆时针方向，下 14 同)的变换是正方形的一个对称变换，它使得 顶点1变为2,2变为3,3变为4,4变为1， 因此这个对称变换可以表示为 (123 0=2341 类似的，绕中心O旋转 180度、270度、360度的变换都是正方形的 对称变换，绕中心0旋转180度、360度的变8、设 G 是交换群，n 是正整数，G 中所有阶整除 n 的元素组成集合 H，证明 H 是 G 的子群。 证明：对任意的 a b H ,  ，有 a n b n , ，由 G 是交换群得(ab)n =a n b n =e，所以 ab n ， 即 ab H ，又由 1 a a   得 1 a n  ，所以 1 a H   。故 H 是 G 的子群。……10 分 9、证明数集 Z[ 2 ] = {a + b 2 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单位 元的交换环。(注：   2 2 i ，其中 i 为虚数单位) 证明：1) 任给 α = a + b 2 , β = c + d 2 ∈Z[ 2 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) 2 ∈Z[ 2 ] αβ = (ac - 2bd) + (ad + bc) 2 ∈Z[ 2 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ 2 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ 2 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ 2 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有-α = -a – b 2 = (-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]的负元为(-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ 2 ]的单位元。......2 分 证毕。 10、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换。 正方形的四个顶点分别用 1、2、3、4 来表示(如图)，于是正方形的每一对称变换 可用一个 4 元置换来表示。 绕中心 O 旋转 90 度(逆时针方向，下 同)的变换是正方形的一个对称变换，它使得 顶点 1 变为 2，2 变为 3，3 变为 4，4 变为 1， 因此这个对称变换可以表示为 2 1 2 3 4 2 3 4 1         。类似的，绕中心 O 旋转 180 度、270 度、360 度的变换都是正方形的 对称变换，绕中心 O 旋转 180 度、360 度的变