张量场可微性及微分算子 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 015年4月2日 1知识要素 1.1张量场与张量赋范线性空间 定义1.1(张量场).设有映照 更:R"Dx3→更(a)∈(Rm), 则此张量更()称为定义在Dx上的张量场 类似于向量,如果想要讨论张量的“大小”,则需定义张量的范数 定义1.2(张量的范数).设有映照 m)3更→lyr∈R 如果满足以下条件 1.非负性:y≥0,y更∈(Rm); 2.非退化性:到=0兮更=0∈"(Rm) 3.正齐次性:|到=|川,VA∈R,更∈少(Rmn) 4.三角不等式:囤+≥匝+,,重,业∈③(Rm), 则称|lyr为张量更的范数 定理1.1(张量范数的一种形式).张量自身全点积的平方根是张量的一种范数,即有 型=√@⊙ 证明考虑到 k)1d(j1)-4)更(k)…(k) …·))面k)-()= (1)…(r) j1)…(jr) 亦即张量自身全点积不依赖于基的选取.由此,可在单位正交基下计算张量自身全点积,此时 型,为张量的所有分量的平方根,易证其满足范数的相关条件张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 张量场与张量赋范线性空间 定义 1.1 (张量场). 设有映照 Φ : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ Φ(x) ∈ T r (R m), 则此张量 Φ(x) 称为定义在 Dx 上的张量场. 类似于向量, 如果想要讨论张量的 “大小”, 则需定义张量的范数. 定义 1.2 (张量的范数). 设有映照 |Φ|T r : T r (R m) ∋ Φ 7→ |Φ|T r ∈ R, 如果满足以下条件: 1. 非负性：|Φ|T r > 0, ∀ Φ ∈ T r (R m); 2. 非退化性：|Φ|T r = 0 ⇔ Φ = 0 ∈ T r (R m); 3. 正齐次性：|λΦ|T r = |λ| |Φ|T r , ∀ λ ∈ R, Φ ∈ T r (R m); 4. 三角不等式：|Φ|T r + |Ψ|T r > |Φ + Ψ|T r , ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m), 则称 |Φ|T r 为张量 Φ 的范数. 定理 1.1 (张量范数的一种形式). 张量自身全点积的平方根是张量的一种范数, 即有 |Φ|T r = √ Φ ⊙ Φ = √ Φi1···irΦi1···ir . 证明 考虑到 Φ i1···irΦi1···ir = [ C i1 (j1) · · · C ir (jr) ] [C (k1) i1 · · · C (kr) ir ] Φ (j1)···(jr)Φ(k1)···(kr) = δ k1 j1 · · · δ kr jr Φ (j1)···(jr)Φ(k1)···(kr) = Φ (j1)···(jr)Φ(j1)···(jr) , 亦即张量自身全点积不依赖于基的选取. 由此, 可在单位正交基下计算张量自身全点积, 此时 |Φ|T r 为张量的所有分量的平方根, 易证其满足范数的相关条件. 1