张量场可微性及微分算子 谢锡麟 性质1.2(简单张量的范数).在定理1.1定义的范数下,以三阶简单张量为例,其范数为 ⑧ny3=flm| nIgm ISIRe 证明由 E0n8c=f7<9: 89, 89k=5in; Skg0g'og 则有 8n8=V(8n8(8n8)k=V(y()5mk IERm ImIgm SIRM 定义了张量范数的张量空间可称为张量赋范线性空间 1.2张量场可微性与张量分量协变导数 定义1.3(张量场的可微性).如果彐D∮(x)(h)∈x(Rm,'(Rm),满足: φ(x+h)-重()=D更(c)(h)+o(hlgm) 此处 lim lo(lhlrm)=0.则称张量场更(x)在点m处是可微的 以二阶张量更∈2(Rm)为例,推导张量场微分形式中的线性映照D(a)(h)的形式此 时有 更(x)=重j()91(x)g(x) 更(x+h)=更.j(x+h)91(x+h)⑧g(x+b) 由多元函数的可微性与向量值函数的可微性,有 2(x+b)=()+0x2(2)b”+O3(hm 94(x+b)=9(2)+a2(a)b+0(hm) g(a+h)=g(a)+o(ah+o(h/Rm) 由上面各式可得 更x+h)-更()=(4,)9,()8gy(x)+bx(x)8g(a) , (a);(c) 2g())hs+Res, 式中Res代表余项张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 性质 1.2 (简单张量的范数). 在定理1.1定义的范数下, 以三阶简单张量为例, 其范数为 |ξ ⊗ η ⊗ ζ|T 3 = |ξ|Rm |η|Rm |ζ|Rm . 证明 由 ξ ⊗ η ⊗ ζ = ξ i η j ζ k gi ⊗ gj ⊗ gk = ξiηjζkg i ⊗ g j ⊗ g k , 则有 |ξ ⊗ η ⊗ ζ|T 3 = √ (ξ ⊗ η ⊗ ζ) ijk (ξ ⊗ η ⊗ ζ) ijk = √ (ξ iη jζ k)(ξiηjζk = |ξ|Rm |η|Rm |ζ|Rm . 定义了张量范数的张量空间可称为张量赋范线性空间. 1.2 张量场可微性与张量分量协变导数 定义 1.3 (张量场的可微性). 如果 ∃ DΦ(x)(h) ∈ L (R m, T r (R m)), 满足: Φ(x + h) − Φ(x) = DΦ(x)(h) + o(|h|Rm), 此处 lim |h|Rm→0 |o(|h|Rm)|T r |h|Rm = 0, 则称张量场 Φ(x) 在点 x 处是可微的. 以二阶张量 Φ ∈ T 2 (R m) 为例, 推导张量场微分形式中的线性映照 DΦ(x)(h) 的形式. 此 时有 Φ(x) = Φ i ·j (x)gi (x) ⊗ g j (x); Φ(x + h) = Φ i ·j (x + h)gi (x + h) ⊗ g j (x + h). 由多元函数的可微性与向量值函数的可微性, 有 Φ i ·j (x + h) = Φ i ·j (x) + ∂Φi ·j ∂xs (x)h s + o i ·j (|h|Rm); gi (x + h) = gi (x) + ∂gi ∂xs (x)h s + oi(|h|Rm); g j (x + h) = g j (x) + ∂g j ∂xs (x)h s + o j (|h|Rm). 由上面各式可得 Φ(x + h) − Φ(x) = ( ∂Φi ·j ∂xs (x)gi (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x) ∂gi ∂xs (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x)gi (x) ⊗ ∂g j ∂xs (x) ) h s + Res, 式中 Res 代表余项. 2