张量场可微性及微分算子 谢锡麟 以下分析余项,如考虑2(am)hh(x)③g,首先由范数的三角不等式以及简单张量范 数的计算式,可有如下估计: ≤ax2(x)b1../ygy 2(aM%)eN2小,1、 5(allom. IRom, (c)⑧ 再考虑到 =0h2m=0,s,k=1 则有 dxs(a)h%hagi 大()8g=o(hm)∈y2(R") 如再考虑jO(hm)g,首先由估计: o(hgm)89≤厘小·o(hm)m19y1gm, 再由 Joi (hRm IRY thlam-0 hrY 则有 o(hm)③g=o(hlm)∈2(Rm) 余项的其余各项可做类似分析,故有Res=o(|hlm)∈少2(Rm) 综上所述,张量场的微分D更(x)(h)可以表示为 更2 axs 989y+,928y-rm918g3) axs r)g1()89()h 令()=测+r一1称为张量场分量在点处关于坐标x的协变导数 现有 D更(x)(h)=Vsp(c)9g1(x)②g(m)h =[V,(h)g1(x)8g(a)g(m)·h=匝重⑧V)(x)h =h·[,(h)g(a)91(x)8g(x)=h·(V8更)m), 式中,h=hg1(x).φ⑧V)(x)=V、:(h)g1()⑧g(x)⑧g^(x)称为张量场的右梯度,而 (ⅴ⑧Φ))=V,j(h)g()⑧q)⑧g(m)称为张量场的左梯度张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 以下分析余项, 如考虑 ∂Φi ·j ∂xs (x)h sh k ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j , 首先由范数的三角不等式以及简单张量范 数的计算式, 可有如下估计:     ∂Φi ·j ∂xs (x)h sh k ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j     T 2 6     ∂Φi ·j ∂xs (x)     · |h s | · |h k | ·     ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j     T 2 =     ∂Φi ·j ∂xs (x)     · |h s | · |h k | ·     ∂g j ∂xk (x)     Rm ·  g j   Rm , 再考虑到 lim |h|Rm→0 |h sh k | |h|Rm = 0, ∀s, k = 1, · · · , m, 则有 ∂Φi ·j ∂xs (x)h sh k ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j = o(|h|Rm) ∈ T 2 (R m). 如再考虑 Φ i ·joi(|h|Rm) ⊗ g j , 首先由估计:  Φ i ·joi(|h|Rm) ⊗ g j   T 6 |Φ i ·j | · |oi(|h|Rm)|Rm · |g j |Rm, 再由 lim |h|Rm→0 |oi(|h|Rm)|Rm |h|Rm = 0, 则有 Φ i ·joi(|h|Rm) ⊗ g j = o(|h|Rm) ∈ T 2 (R m) 余项的其余各项可做类似分析, 故有 Res = o(|h|Rm) ∈ T 2 (R m). 综上所述, 张量场的微分 DΦ(x)(h) 可以表示为 DΦ(x)(h) = ( ∂Φi ·j ∂xs (x)gi (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x) ∂gi ∂xs (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x)gi (x) ⊗ ∂g j ∂xs (x) ) h s = ( ∂Φi ·j ∂xs gi ⊗ g j + Γ p siΦ i ·jgp ⊗ g j − Γ j sqΦ i ·jgi ⊗ g q ) h s = ( ∂Φi ·j ∂xs + Γ i spΦ p · j − Γ q sjΦ i ·q ) gi (x) ⊗ g j (x)h s . 令 ∇sΦ i ·j (x) = ∂Φi ·j ∂xs + Γ i spΦ p · j − Γ q sjΦ i ·q 称为张量场分量 Φ i ·j 在 x 点处关于坐标 x s 的协变导数. 现有 DΦ(x)(h) = ∇sΦ i ·j (x)gi (x) ⊗ g j (x)h s = [ ∇sΦ i ·j (h)gi (x) ⊗ g j (x) ⊗ g s (x) ] · hˆ = (Φ ⊗ ∇)(x) · hˆ = hˆ · [ ∇sΦ i ·j (h)g s (x) ⊗ gi (x) ⊗ g j (x) ] = hˆ · (∇ ⊗ Φ)(x), 式中, hˆ = h igi (x). (Φ ⊗ ∇)(x) = ∇sΦ i ·j (h)gi (x) ⊗ g j (x) ⊗ g s (x) 称为张量场的右梯度, 而 (∇ ⊗ Φ)(x) = ∇sΦ i ·j (h)g s (x) ⊗ gi (x) ⊗ g j (x) 称为张量场的左梯度. 3