张量场可微性及微分算子 谢锡麟 再考虑到 AX: =X(a+h)-X(h)=h'gi (a)+o(hk), △X指参数域中坐标有h=hi变化而引起的物理空间中质点位置的变化.按上述关系式,可 得张量场可微性的更具力学意义的表示形式 定理1.3(张量场可微性的力学表示形式 更(x+b)-重()= V)(x)·△X+o(hlm) △X·(V⑧更)(x)+o(hlg 小(x+=(m)+(④8V)mAx 更(x+h)=(x)+更⑧V)(x)·△X △X (x+h) h Figure1:体积上张量场可微性示意 就此,张量场映照的可微性可理解为空间位置变化(可在参数空间或者物理空间中刻画)而 引起的张量值的变化可以由 Lucid空间至张量空间之间的线性映照(可表示为张量场梯度)近 似,误差为一阶无穷小量,如图1所示 按上述关于协变导数的定义,对三阶张量更(x)=型918989∈3(欧m),则它的协变 导数为 V小=0(a)+的+叭一项 更高阶的张量的协变导数可以类似得出 性质14(协变导数的基本性质).张量场分量的协变导数具有如下基本性质 线性性 V(apk+ik)=aV重+B业,Va,B∈R; 2. Leibniz性 V1(重.y1p)=(Vp:)+中.(V1); 3.哑标无关性 y)=a(.(x)+(网)-影(从更)-(p张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 再考虑到 ∆X := X(x + h) − X(h) = h i gi (x) + o(|h| m R ), ∆X 指参数域中坐标有 h = h i ii 变化而引起的物理空间中质点位置的变化. 按上述关系式，可 得张量场可微性的更具力学意义的表示形式: 定理 1.3 (张量场可微性的力学表示形式). Φ(x + h) − Φ(x) =    (Φ ⊗ ∇)(x) · ∆X + o(|h|Rm), ∆X · (∇ ⊗ Φ)(x) + o(|h|Rm). x 1 x i xm O hˆ h˜ x x + hˆ x + h˜ Dx X1 Xα Xm O ∆Xˆ ∆X˜ X(x) X(x + hˆ) X(x + h˜) Φ(x) Φ(x + hˆ) .= Φ(x) + (Φ ⊗ ∇)(x) · ∆Xˆ Φ(x + h˜) .= Φ(x) + (Φ ⊗ ∇)(x) · ∆X˜ DX Figure 1: 体积上张量场可微性示意 就此，张量场映照的可微性可理解为空间位置变化 (可在参数空间或者物理空间中刻画) 而 引起的张量值的变化可以由 Eucid 空间至张量空间之间的线性映照 (可表示为张量场梯度) 近 似，误差为一阶无穷小量，如图 1所示. 按上述关于协变导数的定义，对三阶张量 Φ(x) = Φ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ∈ T 3 (R m), 则它的协变 导数为 ∇lΦ ij ··k = ∂Φij ··k ∂xl (x) + Γ i lsΦ sj ··k + Γ j lsΦ is ··k − Γ s lkΦ ij ··s . 更高阶的张量的协变导数可以类似得出. 性质 1.4 (协变导数的基本性质). 张量场分量的协变导数具有如下基本性质: 1. 线性性 ∇l(αΦi ·jk + βΨi · jk) = α∇lΦ i ·jk + β∇lΨ i · jk, ∀ α, β ∈ R; 2. Leibniz 性 ∇l(Φ i ·jΨ pq ·· r ) = (∇lΦ i ·j )Ψ pq ·· r + Φ i ·j (∇lΨ pq ·· r ); 3. 哑标无关性 ∇l(Φ i ·kΨ k · pq) = ∂ ∂xl (Φ i ·kΨ k · pq)(x) + Γ i ls(Φ s · kΨ k · pq) − Γ s lp(Φ i ·kΨ k · sq) − Γ s lq(Φ i ·kΨ k · ps). 4