张量场可微性及微分算子 谢锡麟 证明可按协变导数的定义,通过直接计算证明协变导数的基本性质 1.线性性是显然的 2. Leibniz性 V1(中,y) (,)(x)+(更一时)+(+一v) OΦ2 a)+2)+(m()+学 =(Vp,)yp+:(V) 3.按 Leibniz性,有 V小kp)=(V.)重+更(V大四) Azra)+lisp k-liksp P(x)+IV四-F- 0(()+E(①A四)-吗)-团四),口 按指标升降关系,还可定义逆变导数为 1.3张量场的偏导数与张量场的微分型场论算子 1.3.1张量场的偏导数 定义1.4(张量场的偏导数).定义 全lin (m+Ai)-更() 称为张量场的偏导数(方向导数) 根据张量场φ(a)在x点的可微性,有 更(+A)-更(x)=(⑧V)(x)·(91)+0()∈(Rm) 故有极限 Ox(a)=lim (a+ Ain)-(a) φ⑧V)(m)·9(m) 以三阶张量为例,即更=9189895,则有 更 (x)=(8V)(m)·9(x)=V918989张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 证明 可按协变导数的定义, 通过直接计算证明协变导数的基本性质. 1. 线性性是显然的. 2. Leibniz 性: ∇l(Φ i ·jΨ pq ·· r ) = ∂ ∂xl (Φ i ·jΨ pq ·· r )(x) + (Γ i lsΦ s · j − Γ s ljΦ i ·s)Ψ pq ·· r + Φ i ·j (Γ p lsΨ sq ·· r + Γ q lsΨ ps ·· r − Γ s lrΨ pq ·· s ) = ( ∂Φi ·j ∂xl (x) + Γ i lsΦ s · j − Γ s ljΦ i ·s ) Ψ pq ·· r + Φ i ·j ( ∂Ψpq ·· r ∂xl (x) + Γ p lsΨ sq ·· r + Γ q lsΨ ps ·· r − Γ s lrΨ pq ·· s ) = (∇lΦ i ·j )Ψ pq ·· r + Φ i ·j (∇lΨ pq ·· r ). 3. 按 Leibniz 性, 有 ∇l(Φ i ·kΨ k · pq) = (∇lΦ i ·k)Ψ k · pq + Φ i ·k(∇lΨ k · pq) = ( ∂Φi ·k ∂xl (x) + Γ i lsΦ s · k − Γ s lkΦ i ·s ) Ψ k · pq + Φ i ·k ( ∂Ψk · pq ∂xl (x) + Γ k lsΨ s · pq − Γ s lpΨ k · sq − Γ s lqΨ k · ps) = ∂ ∂xl (Φ i ·kΨ k · pq)(x) + Γ i ls(Φ s · kΨ k · pq) − Γ s lp(Φ i ·kΨ k · sq) − Γ s lq(Φ i ·kΨ k · ps). 按指标升降关系, 还可定义逆变导数为 ∇l = g lk∇k. 1.3 张量场的偏导数与张量场的微分型场论算子 1.3.1 张量场的偏导数 定义 1.4 (张量场的偏导数). 定义 ∂Φ ∂xl (x) , lim λ→0 Φ(x + λil) − Φ(x) λ , 称为张量场的偏导数 (方向导数). 根据张量场 Φ(x) 在 x 点的可微性, 有 Φ(x + λil) − Φ(x) = (Φ ⊗ ∇)(x) · (λgl ) + o(λ) ∈ T r (R m). 故有极限 ∂Φ ∂xl (x) = lim λ→0 Φ(x + λil) − Φ(x) λ = (Φ ⊗ ∇)(x) · gl (x). 以三阶张量为例, 即 Φ = Φ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k , 则有 ∂Φ ∂xl (x) = (Φ ⊗ ∇)(x) · gl (x) = ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k . 5