张量场可微性及微分算子 谢锡麟 132张量场的梯度 以三阶张量为例,根据协变导数的定义可得张量场的左梯度和右梯度 (V⑧更)(x)=VΦ:989⑧989; ⑧V)(x)=V91891898g 利用上面的张量场偏导数的概念,可以将左梯度形式地写作 ⅴ8更=98(V,9189189)=98=(9a 由此,可形式定义梯度算子 0 按照上面的形式运算规则,可得右梯度为 =(Vp9189189)8g=V小91891892g 可见,梯度运算将使张量的阶数增加一阶. 对于任意阶的张量,其左/右梯度可以基于张量场的偏导数,定义如下: V⑧更全g48(x 9(R")3更 ∈少r+1(Rm) 更⑧V ⑧g(x) 1.3.3张量场的散度 应用上一小节定义的形式运算可以定义张量场的左散度和右散度.以三阶张量为例,形式定 义为 ar=9(V4,k9899 6Vp9g;89 Vik9, 8 9 Vp19;③g;8 V9189 V.更和更·V分别称为张量场更(x)∈3(Rm)的左散度和右散度 根据协变导数的基本性质(2)和基本性质(4),上面右散度的分量等价于 gV配=V1(9少)=Vp 可见,散度运算将使张量的阶数减少一阶张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 1.3.2 张量场的梯度 以三阶张量为例, 根据协变导数的定义可得张量场的左梯度和右梯度 (∇ ⊗ Φ)(x) = ∇lΦ ij· ··k g l ⊗ gi ⊗ gj ⊗ g k ; (Φ ⊗ ∇)(x) = ∇lΦ ij· ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ⊗ g l . 利用上面的张量场偏导数的概念, 可以将左梯度形式地写作 ∇ ⊗ Φ = g l ⊗ (∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) = g l ⊗ ∂Φ ∂xl = ( g l ∂ ∂xl ) ⊗ Φ. 由此, 可形式定义梯度算子∇: ∇ ≡ g l ∂ ∂xl , 按照上面的形式运算规则, 可得右梯度为 Φ ⊗ ∇ = Φ ⊗ ( g l ∂ ∂xl ) = ∂Φ ∂xl ⊗ g l = (∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) ⊗ g l = ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ⊗ g l . 可见, 梯度运算将使张量的阶数增加一阶. 对于任意阶的张量, 其左/右梯度可以基于张量场的偏导数, 定义如下: T r (R m) ∋ Φ 7→    ∇ ⊗ Φ , g l ⊗ ∂Φ ∂xl (x) Φ ⊗ ∇ , ∂Φ ∂xl ⊗ g l (x) ∈ T r+1(R m). 1.3.3 张量场的散度 应用上一小节定义的形式运算可以定义张量场的左散度和右散度. 以三阶张量为例, 形式定 义为 ∇ · Φ = ( g l ∂ ∂xl ) · Φ = g l · ∂Φ ∂xl = g l · ( ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) = δ l i∇lΦ ij ··k gj ⊗ g k = ∇iΦ ij ··k gj ⊗ g k ; Φ · ∇ = Φ · ( g l ∂ ∂xl ) = ∂Φ ∂xl · g l = ( ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) · g l = g kl∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj . ∇ · Φ 和 Φ · ∇ 分别称为张量场 Φ(x) ∈ T 3 (R m) 的左散度和右散度. 根据协变导数的基本性质 (2) 和基本性质 (4), 上面右散度的分量等价于 g kl∇lΦ ij ··k = ∇l(g klΦ ij ··k ) = ∇lΦ ijl . 可见, 散度运算将使张量的阶数减少一阶. 6