张量场可微性及微分算子 谢锡麟 对于任意阶的张量,其左/右散度可以利用张量偏导数的概念定义如下 中全g (R")3車 13.4张量场的旋度 当张量的底空间是R3时,应用上面的形式运算可以定义张量场的旋度.为了表示向量的叉 乘(向量积),考虑在第一部分中引入的 Eddington张量,在三维情况下,有 e=E(91291,9k)92g②g e1 Ae2 A e3(gi, gi, gk)9'8gog (e1,9)(e2,g;)(e3,g)ks det(e,9)g(e2.9)(e;9)g9sgsg a,9)(2.9)(a.9 gog, 即有 定义了 Eddington张量之后,向量的叉乘可以表示为 g1×9;=Eik9",g2×g 3,则有 Eik=eigkv9, elk=eik I 式中 1,k为123的偶置换 k=c=,3,13={-1,计为23的奇置换; 0,访k中至少有两个相同 以三阶张量为例,形式定义 Vx更 g 更 (v9:09,0g* V(9×91)8989 V 99 ×=×()=m×=(7m109) Vp91898(g×9) =Vp=9189;89p张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 对于任意阶的张量, 其左/右散度可以利用张量偏导数的概念定义如下 T r (R m) ∋ Φ 7→    ∇ · Φ , g l · ∂Φ ∂xl (x) Φ · ∇ , ∂Φ ∂xl · g l (x) ∈ T r−1 (R m). 1.3.4 张量场的旋度 当张量的底空间是 R 3 时, 应用上面的形式运算可以定义张量场的旋度. 为了表示向量的叉 乘 (向量积), 考虑在第一部分中引入的 Eddington 张量, 在三维情况下, 有 ε = ε(gi , gj , gk )g i ⊗ g j ⊗ g k = e1 ∧ e2 ∧ e3(gi , gj , gk )g i ⊗ g j ⊗ g k = det   (e1, gi )R3 (e2, gi )R3 (e3, gi )R3 ( e1, gj ) R3 ( e2, gj ) R3 ( e3, gj ) R3 (e1, gk )R3 (e2, gk )R3 (e3, gk )R3   g i ⊗ g j ⊗ g k = [ gi , gj , gk ] R3 g i ⊗ g j ⊗ g k , 即有 εijk = [gi , gj , gk ]R3 , εijk = [g i , g j , g k ]R3 . 定义了 Eddington 张量之后, 向量的叉乘可以表示为 gi × gj = εijkg k , g i × g j = ε ijkgk . 令 √g = [g1 , g2 , g3 ]R3 , 则有 εijk = eijk√ g, εijk = e ijk 1 √g , 式中 eijk = e ijk = [ii , ij , ik]R3 =    1, ijk为123的偶置换; −1, ijk为123的奇置换; 0, ijk中至少有两个相同. 以三阶张量为例, 形式定义 ∇ × Φ = ( g l ∂ ∂xl ) × Φ = g l × ∂Φ ∂xl = g l × ( ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) = ∇lΦ ij ··k (g l × gi ) ⊗ gj ⊗ g k = ∇lΦ ij ··k g lsεsipg p ⊗ gj ⊗ g k ; Φ × ∇ = Φ × ( g l ∂ ∂xl ) = ∂Φ ∂xl × g l = ( ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ) × g l = ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ (g k × g l ) = ∇lΦ ij ··k ε klpgi ⊗ gj ⊗ gp . 7