解经计算,有 =cos 6-+sin e ir ax ar ay a a-of ax+ a ay=-rsine+rcose 9 =cos0 cos0 arsine o -Sinel cose/-sin e s ryan 03f 2 cos sine- in20 Vox a =-rcos 6 in0--rsin 0 -rsin0-+rcos8 Ova +rcos bl-rsin0-+rcos0 =-rcos8 arsine dr +r2.+2sin0 cos0.+cos0 容易验证 1 af ar2 r2 r ar ax a 9.设二元函数∫具有二阶连续偏导数。证明:通过适当线性变换 u=x+ Ay 可以将方程 83f,n0f02f +C 0(AC-B2<0) 化简为 并说明此时A,为一元二次方程A+2B+C12=0的两个相异实根。 证经计算,有 o=ya-y"=9+9 =a1+y=29+解 经计算，有 cos sin f f x f y f f r x r y r x θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y ， sin cos f f x f y f f r r x y x θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y ， 2 2 2 2 2 2 cos cos sin sin cos sin 2 2 f f f f f r x y x x y θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ y ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 cos 2cos sin sin 2 f f f x y x y θ θ θ θ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ， 2 2 f θ ∂ = ∂ 2 2 2 cos sin sin sin cos f f f r r r r r f x y x θθθ θ θ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ −−− ⎜ ⎟ − + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂y∂x 2 2 2 cos sin cos f f r r r x y y θ θ θ ⎛ ⎞ ∂ ∂ + −⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin 2sin cos cos 2 f f f f r r r f x y x y x θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = −−+ ⎜ ⎟ + + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂y ， 容易验证 r f r f r r f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 1 1 2 2 2 2 2 θ ＝ 2 2 2 2 f f x y ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 9. 设二元函数 f 具有二阶连续偏导数。证明：通过适当线性变换 ⎩ ⎨ ⎧ = + = + , , v x y u x y µ λ 可以将方程 2 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ y f C x y f B x f A （ 0 ）. 2 AC − B < 化简为 0 2 = ∂ ∂ ∂ u v f 。 并说明此时λ, µ 为一元二次方程 2 0的两个相异实根。 2 A + Bt + Ct = 证 经计算，有 f f u f v f f x u x v x u v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ， f f u f v f f y u y v y u λ µ v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ， 12