ax2 au2 ax OYOu ax Oudy ax av2 Ox au2 °f2(a°fau02fa+ Uav ay an2ay af ou af ay2(?? ay Vou ay af+2/u ovaL af af au af ov af au af a2 n+u) ay Vou ay af+u 所以 af 0=A-+2B af.caf ay =(4+2B+C)8f+(4+2B+C)9+24+B(2+)+C列。 由条件AC-B2<0知一元二次方程A+2Bt+C12=0有两个相异实 根,所以只要取为方程的两个相异实根。此时由+=2B与 A 可得 AC-B- A+B(+1)+CA=2 于是原方程化简为2=0 10.通过自变量变换x=,变换方程 a2- a + 2bxy + ci =0,a,b,c为常数 解由2=lnx,n 可得 az az as 1 az ax as ax x as ay an ay ya a2: 1 a2:1 a a2. s ay y an y an ayax xy anas 代入原方程,得到2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f f u f v f u f v f f f x u x v u x u v x v x u v u v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 2 f f u f v f u f v y u y v u y u v y v λ µ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ y ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 f f f u v u λ λµ µ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ y ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 f f u f v f u f v y x u y v u y u v y v y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 ( ) 2 f f f u v u λ λ µ µ v ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ， 所以 2 2 2 2 0 2 2 f f f A B C x x y y ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) f f A B C A B C u v λ λ µ µ ∂ ∂ = + + + + + ∂ ∂ 2 2[ ( ) ] f A B C v u λ µ λµ ∂ + + + + ∂ ∂ 。 由条件 知一元二次方程 有两个相异实 根，所以只要取 0 2 AC − B < 2 0 2 A + Bt + Ct = λ, µ 为方程的两个相异实根。此时由 2B C λ µ + = − 与 A C λµ = ，可得 A B + + ( ) λ µ λ + C µ = 2 2 0 AC B C − ≠ ， 于是原方程化简为 0 2 = ∂ ∂ ∂ u v f 。 10. 通过自变量变换 变换方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = η ξ e e , y x 2 0 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ y z cy x y z bxy x z ax ， a,b, c为常数。 解 由ξ = ln x,η = ln y，可得 z z 1 x x x ξ z ξ ξ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ， z z 1 y y y η z η η ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 z z 1 1 z x x ξ x ξ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 z z 1 1 y y y z η η ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ 2 2 z z 1 y x xy η ξ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ， ， 。 代入原方程，得到 13