a a- +2b 02 asan a 1.通过自变量变换=x2变换方程 v=x+2 2 av 解经计算,有 a: a Ou a: av az 0: az a Ou az av 1/azaz ay ax av ay Ou ay av ay √ a-- a oona3=2ama/川3?9 02=O a- aa,2/ 代入原方程,得到 0- 所以原方程变换为 0 12.导出新的因变量关于新的自变量的偏导数所满足的方程: Ju=x+y (1)用 及v=lnz-(x+y)变换方程 (2)用 u=x 及v=x+y+z变换方程 t y a2-0 (3)用2”及w=三变换方程 解(1)由w=lnz-(x+y)得到2 2 2 2 2 z 2 2 2 z z ax bxy cy x x y y ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 0 2 2 2 2 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ξ ξ ξ η η η z z c z b z z a 。 11．通过自变量变换⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = − v x y u x y 2 2 , 变换方程 , 0 2 1 2 2 2 2 > ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ y y z y z y x z 。 解 经计算，有 z z u z v z z x u x v x u v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ， z z u z v 1 z z y u y v y y u v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + = ⎜ ⎟ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 z z z 2 z x u v u ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂v ， 2 2 2 2 3 1 1 2 2 z z z z z y u y v y u v u ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟ − + ∂ ∂⎝ ⎠ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 z v ∂ ∂ 。 代入原方程，得到 2 2 2 2 1 2 z z z y x y y ∂ ∂ ∂ − − = ∂ ∂ ∂ 2 4 0 z u v ∂ = ∂ ∂ ， 所以原方程变换为 2 0 z u v ∂ = ∂ ∂ 。 12．导出新的因变量关于新的自变量的偏导数所满足的方程： （1）用 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + x y v u x y 1 1 , 2 2 及w = ln z − (x + y)变换方程 y x z y z x x z y = ( − ) ∂ ∂ − ∂ ∂ ； （2）用 及 ⎩ ⎨ ⎧ = + = v x y u x, w = x + y + z变换方程 2 1 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ y z x y x y z x z ； （3）用 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + x y v u x y, 及 x z w = 变换方程 2 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ y z x y z x z 。 解 （1）由w = ln z − (x + y)得到 14