第5讲不动点定理 教学目的:掌握压缩映象原理并应用于解各种算子方程的问题。 授课要点 1、压编映象与压编映象原理。 2、利用压编映象原理解微分方程、积分方程和代数方程组 求解各种类型(代数,积分,微分)的方程时,首先遇到的是解的存在性和惟一性问题.这 类问题在泛函分析中即所谓不动点问题.其中关于不动点的存在性往往是与空间的完备性直 接有关的 定义设X是度量空间,T:X→X是一个映射(不必线性),若存在a,0≤a<1使得 d(Tx,T)≤ad(x,y),vx,y∈X 则称T是X上的一个压缩映射 容易验证压缩映射在每一点是连续的 若存在x∈X使得Tx0=x,则称x是T的不动点 定理1完备度量空间上的压缩映射具有惟一的不动点 证明任取x∈X,则 xo, Txo=T(xo),.,T"xo=T(Tro) 可归纳地予以定义,我们证明{T”x0}是X中的 Cauchy序列. 实际上由压缩性, d(T"x,T"x)≤ad(T"x0,T"x)≤…≤a"d(TXx0,x) 从而对于任何自然数p d(T"Pxo, T"ro)sad(Txo, xo) ≤a"(d(T"x0,7x0)+…+d(Tx0,x) ≤a"(a+a"2+…+1d(Tx,x) (2) x与Tx是X中两个固定的点,由于0≤a<1,不难知道{T"x}是 Cauchy序列 X是完备的,不妨设limT"x=x,x∈X.由T的连续性第 5 讲 不动点定理 教学目的：掌握压缩映象原理并应用于解各种算子方程的问题。 授课要点： 1、 压缩映象与压缩映象原理。 2、 利用压缩映象原理解微分方程、积分方程和代数方程组。 求解各种类型（代数，积分，微分）的方程时，首先遇到的是解的存在性和惟一性问题．这 类问题在泛函分析中即所谓不动点问题．其中关于不动点的存在性往往是与空间的完备性直 接有关的． 定义 设 X 是度量空间，T : X → X 是一个映射（不必线性），若存在 a ，0 ≤ a <1使得 d( Tx,Ty) ≤ a d(x, y), ∀x, y ∈ X （1） 则称T 是 X 上的一个压缩映射． 容易验证压缩映射在每一点是连续的． 若存在 x0 ∈ X 使得 0 0 Tx = x ，则称 0 x 是T 的不动点． 定理 1 完备度量空间上的压缩映射具有惟一的不动点． 证 明 任取 x0 ∈ X ，则 Tx0 ， ( ) 0 0 2 T x = T Tx ，…， ( ) 0 1 0 T x T T x n n− = 可归纳地予以定义．我们证明{ }0 T x n 是 X 中的 Cauchy 序列． 实际上由压缩性， ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 1 0 0 0 1 d T x T x ad T x T x a d Tx x n n n n n ≤ ≤ ≤ + − " . 从而对于任何自然数 p ， ( , ) ( , ) 0 0 0 0 d T x T x a d T x x n p n n p ≤ + ( ( , ) ( , )) 0 0 0 1 0 a d T x T x d Tx x n p p ≤ + + − " ( 1) ( , ) 0 0 1 2 a a a d Tx x n p p ≤ + + + − − " ( , ) 1 0 0 d Tx x a an − ≤ （2） 0 x 与Tx0 是 X 中两个固定的点，由于0 ≤ a <1，不难知道{ }0 T x n 是 Cauchy 序列． X 是完备的，不妨设 T x x n n = →∞ 0 lim ， x ∈ X ．由T 的连续性