Tx=T(limT"xo)=limT(T"xo)=limT"xo=x 王是T的不动点.这说明不动点是存在的 若另有j∈X,巧=j,则仍由压缩性 d(,=d(x, ly)sad(x,y) 此时必有d(x,y)=0,从而x=j.这说明不动点是惟一的 定理得证 注意在不等式(2)中令p→∞,由于lmT”Px0=x,可以得到 d(T"x0,x)≤,d(x02x0) (3) 此式给出了x经过T的n次迭代后到x的距离的估计 命题设T:X→X是X上的映射,若对于某个自然数k,T*有惟一不动点,则T以同 点为惟一不动点 证明设x∈X是r*的惟一不动点,7x0=x0,则x0=T(7*x0)=7*(x).这说明Txo 是7*的不动点.由惟一性知道Tx=x,又T的每个不动点必是7*的不动点,所以T的不动 点是惟一的 例1考虑具有初值条件的微分方程 女=(x),y(x)=1 其中f(x,y)是二元连续函数并且满足关于y的 Lipschitz条件 If(,y-f(r,y2)sLly-y2I, VxE[xo,xo+ o0<y1;y2< 则当δL<1时,此微分方程存在惟一连续解 实际上,若考虑映射T:CIa,b]→Cla,b](这里记a=x,b=x+δ), (y)x)=yo+f(,y()d,x∈[a,b,yy=y(x)∈CIab 则y是方程(4)的解当且仅当y是T的不动点由 Lipschitz条件,按C{a,b中的范数有 d(Ty1,7y2)=Ty1-Ty2‖ =max!y(,y()-f(t,y2()d LIy(o-y2(ldr <Llx-xo Imax y,(0-y2(O)Tx T T x T T x T x x n n n n n n = = = = + →∞ →∞ →∞ 0 1 0 0 (lim ) lim ( ) lim ． x 是T 的不动点．这说明不动点是存在的． 若另有 y ∈ X ，Ty = y ，则仍由压缩性 d(x, y) = d(Tx,Ty) ≤ ad(x, y)， 此时必有 d(x, y) = 0 ，从而 x = y ．这说明不动点是惟一的． 定理得证． 注意在不等式（2）中令 p → ∞ ，由于 T x x n p p = + →∞ 0 lim ，可以得到 ( , ) 1 ( , ) 0 0 0 d Tx x a a d T x x n n − ≤ ． （3） 此式给出了 0 x 经过T 的 n 次迭代后到 x 的距离的估计． 命题 设T : X → X 是 X 上的映射，若对于某个自然数 k ， k T 有惟一不动点，则T 以同 一点为惟一不动点． 证明 设 x0 ∈ X 是 k T 的惟一不动点， 0 0 T x x k = ，则 ( ) ( ) 0 0 T Tx0 Tx T T x k k = = ．这说明Tx0 是 k T 的不动点．由惟一性知道 0 0 Tx = x ．又T 的每个不动点必是 k T 的不动点，所以T 的不动 点是惟一的． 例 1 考虑具有初值条件的微分方程 f (x, y) dx dy = ， 0 0 y(x ) = y （4） 其中 f (x, y) 是二元连续函数并且满足关于 y 的 Lipschitz 条件： | ( , ) ( , )| | | 1 2 1 2 f x y − f x y ≤ L y − y ， [ , ] ∀x∈ x0 x0 +δ ， −∞ < y1 , y2 < ∞ ． 则当δ L <1时，此微分方程存在惟一连续解． 实际上，若考虑映射T :C[a,b] → C[a,b]（这里记 0 a = x ，b = x0 +δ ）， ∫ = + x x Ty x y f t y t t 0 ( )( ) ( , ( ))d 0 ， x∈[ , ], a b ] ∀y = y(x)∈C[a,b ， （5） 则 y 是方程（4）的解当且仅当 y 是T 的不动点．由 Lipschitz 条件，按C[a,b] 中的范数有 ( , ) || || d Ty1 Ty2 = Ty1 −Ty2 ∫ = − ∈ x t a b x f t y t f t y t t 0 max [ ( , ( )) ( , ( ))]d 1 2 [ , ] ∫ ≤ − ∈ x t a b x L y t y t t 0 max | 1 ( ) 2 ( ) | d [ , ] | | max | ( ) ( ) | 1 2 [ , ] 0 L x x y t y t t a b ≤ − − ∈