V1-y 当δL<1时T是压缩的,由于CIab]是完备的,定理1表明T有惟一不动点.从而方程(1) 存在惟一连续解. 例2设K(s,1)是矩形a≤s,【≤b上的连续函数,sup|k(s,)=M<∞,对于每个 H∈Φ,考虑 olterra型积分方程 x()=1k(,x(r)dr+o(), 其中φ()∈CIa,b].我们证明此方程在CIa,b]中存在惟一解 实际上,考虑映射TCIa,b→C[a,b, (Tx)(0=ulK(, )x(r)dr+p(0), Vxe[a, b 则T的不动点即是(6)的解。由于 (x))-(y)D)l=|1k(,)(x(x)-y(r)da ≤|| M sup x(1)-y(0)‖-a =|a|M(-a)d(x,y) (7) 直接对于左端取上确界未必会得到T的压缩性,所以需要考虑别的途径.实际上对于(7)两 端关于t再积分,归纳地,若 (T"x)()-(T"y)(1)图"M n(1-a) d(x,y) 则 (Tx))-(Ty))=[k(,rx(r"r)-(T"y)r)d (r-a)drd(x, y) Sum+ macI-ayd(x, y) 由此得到对于任何自然数n, (7"x,T"y)=sup|(T"x)()-(T"y)) ≤lrM(b-a)a(xy) 取n足够大,可使M"(b=a<1,此时了“成为C[ab]上的压缩映射.C[ab完备, 所以T”有惟一不动点.再由命题1,T有同一不动点.它即是方程(6)的解|| || 1 2 ≤ δL y − y 当δ L <1时T 是压缩的，由于C[a,b] 是完备的，定理 1 表明T 有惟一不动点．从而方程（1） 存在惟一连续解． 例 2 设 K(s,t) 是矩形 a ≤ s ， t ≤ b 上的连续函数， = < ∞ ≤ ≤ K s t M a s t b sup | ( , ) | , ．对于每个 µ ∈Φ ，考虑 Volterra 型积分方程 x(t) K(t, )x( )d (t) t a = µ τ τ τ +ϕ ∫ ， （6） 其中ϕ(t)∈C[a,b] ．我们证明此方程在C[a,b] 中存在惟一解． 实际上，考虑映射T :C[a,b] → C[a,b]， (Tx)(t) K(t, )x( )d (t) t a = µ τ τ τ +ϕ ∫ ，∀x∈C[a,b] 则T 的不动点即是（6）的解。由于 ∫ − = − t a | (Tx)(t) (Ty)(t) | | µ | K(t,τ )((x(τ ) y(τ ))dτ | | M sup | x(t) y(t) | | t a | a t b ≤ − − ≤ ≤ µ = | µ | M (t − a)d(x, y) （7） 直接对于左端取上确界未必会得到T 的压缩性, 所以需要考虑别的途径. 实际上对于（7）两 端关于t 再积分，归纳地，若 ( , ) ! ( ) | ( )( ) ( )( )| | | d x y n t a T x t T y t M n n n n n − − ≤ µ ， 则 ∫ − = − + + t a n n n n | (T x)(t) (T y)(t) | | µ | K(t,τ )((T x)(τ ) (T y)(τ ))dτ 1 1 ( ) d ( , ) ! 1 | | 1 1 a d x y n M t a n n n ∫ ≤ − + + µ τ τ ( , ) ( 1)! ( ) | | 1 1 1 d x y n t a M n n n + − = + + + µ ． 由此得到对于任何自然数 n ， d(T x,T y) sup | (T x)(t) (T y)(t) | n n a t b n n = − ≤ ≤ ( , ) ! | | ( ) d x y n M b a n n n − ≤ µ ． 取 n 足够大，可使 1 ! | | ( ) < − n M b a n n n µ ，此时 n T 成为C[a,b] 上的压缩映射．C[a,b] 完备， 所以 n T 有惟一不动点．再由命题 1，T 有同一不动点．它即是方程（6）的解．