对于线性空间X上的一个算子T:X→X,算子方程Tx=y的求解问题很容易变成一个 不动点的存在问题.例如设 Vx=x+Ix 则V的不动点即是Tx=y的解.让我们给出一个很一般的例 例3设X是 Banach空间,U是从X到X中的算子,若 JUx,-Ux2sal, -x2,Vx,x2EX 其中0≤a<1,则方程Ux=x+y有惟一解. 实际上,如上面所述,令x=Ux-y,则 Ivx -Vx2=Ux,-Ux2< - 2, Vx,x2EX 即V是X上的压缩映射.X完备,故存在X∈X,=X,从而x=U-y,x是Ux=x+y的 惟一解 在很多实际应用中,压缩映象的条件还是过于严格了.为了解决这些问题提出了各种各 样的别的条件,比如“非扩张的”,甚至“扩张的”映射等.另外随着学科的发展又提出了 随机的”和“集值的”映射等等,它们也都有相应的不动点定理.总之,至今有关“不动点 定理”的问题已经发展成为内容十分丰富的体系,他们在解决理论和应用的许多问题中都提 供了有力的工具,读者对此应有足够的重视对于线性空间 X 上的一个算子T : X → X ，算子方程Tx = y 的求解问题很容易变成一个 不动点的存在问题．例如设 Vx = x +Tx − y ， 则V 的不动点即是Tx = y 的解．让我们给出一个很一般的例． 例 3 设 X 是 Banach 空间，U 是从 X 到 X 中的算子，若 1 2 1 2 Ux −Ux ≤ a x − x ，∀x1 , x2 ∈ X ． 其中0 ≤ a <1，则方程Ux = x + y 有惟一解． 实际上，如上面所述，令Vx = Ux − y ，则 1 2 1 2 1 2 Vx −Vx = Ux −Ux ≤ a x − x ，∀x1 , x2 ∈ X ． 即V 是 X 上的压缩映射． X 完备，故存在 x ∈ X ,Vx = x ，从而 x = Ux − y ， x 是Ux = x + y 的 惟一解． 在很多实际应用中，压缩映象的条件还是过于严格了. 为了解决这些问题提出了各种各 样的别的条件，比如“非扩张的”， 甚至“扩张的”映射等. 另外随着学科的发展又提出了 “随机的”和“集值的”映射等等, 它们也都有相应的不动点定理. 总之，至今有关“不动点 定理”的问题已经发展成为内容十分丰富的体系，他们在解决理论和应用的许多问题中都提 供了有力的工具，读者对此应有足够的重视