例2将函数(x)=sinx展开成x的幂级数 解因为f(m(x)=si(x+n·x)(m=-1,2,…), 所以∫(0顺序循环地取0,1,0,-1,…(n=0,1,2,3,… 于是得级数x-x3+x32-.+ 2n-1 35 (2n-1) 它的收敛半径为R+∞ 对于任何有限的数x、5(介于0与x之间,有 (n+1)丌 sinl&+ R2(x) n+1 dr/n+1 (n+1)! →0(n→>∞). (n+ 因此得展开式 D-x X 2n-1 SInx=x +…(-∞<x<+∞). (2n-1 上页返回 页结束铃首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 将函数f(x)=sin x展开成x的幂级数. 解 因为 ) 2 ( ) sin( ( )  f x = x+n n 解 (n=1, 2,   ), 所以f (n) (0)顺序循环地取0, 1, 0, −1,    (n=0, 1, 2, 3,   ), 于是得级数 +  − − + −  + − − − (2 1)! ( 1) 3! 5! 2 1 1 3 5 n x x x x n n , 对于任何有限的数x、 (介于0与x之间),有 它的收敛半径为R=+. ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 +  + + + = + + n x x n n R x n n n   →0 (n →). ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 +  + + + = + + n x x n n R x n n n   →0 (n →). ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 +  + + + = + + n x x n n R x n n n   →0 (n →). ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 +  + + + = + + n x x n n R x n n n   →0 (n →). 因此得展开式 sin x= (2 1) ! ( 1) 3! 5! 2 1 1 3 5 +  − − + −  + − − − n x x x x n n (−<x<+). 下页