例1将函数f(x)=e展开成x的幂级数 解显然fm(x)=eY(m=1,2,……),f(n(0)=1(m=1,2,…) 于是得级数 1+x+1x2+ xn+ 它的收敛半径R=+0 对于任何有限的数x、(介于0与x之间),有 R2(x) es (n+D)x+1 <e (n+1) 而imx=0,所以ln(R(x)=0,从而有展开式 n→>∞(n+ n→>0 ex=1+x+0x2+…-xn+…(-∞<x+∞ 首页上页返回 页结束铃首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 将函数f(x)=e x展开成x的幂级数. 解 显然 f (n) (x)=e x (n=1, 2,   ), 于是得级数 f (n) (0)=1(n=1, 2,   ). + + +  +  ! 1 2! 1 1 2 n x n x x , 它的收敛半径R=+. 对于任何有限的数x、 (介于0与x之间),有 而 0 ( 1)! | | lim 1 = + + → n x n n , 所以 lim| ( )|=0 → R x n n , 从而有展开式 ! 1 2! 1 1 2 = + + +  +  x n x n e x x (−<x<+). 而 0 ( 1)! | | lim 1 = + + → n x n n , 所以 lim| ( )|=0 → R x n n 而 0 , 从而有展开式 ( 1)! | | lim 1 = + + → n x n n , 所以 lim| ( )|=0 → R x n n , 从而有展开式 ( 1)! | | | ( 1)! | ( )| | 1 1 | | +   + = + + n x x e n e R x n n x n  , ( 1)! | | | ( 1)! | ( )| | 1 1 | | +   + = + + n x x e n e R x n n x n  , ( 1)! | | | ( 1)! | ( )| | 1 1 | | +   + = + + n x x e n e R x n n x n  , 下页