96 高等数学重点难点100讲 f(c)=0,也就是要证方程xf(x)+f(x)=0在(0,1)内有根x=c,即 (xf(x)+f(x))|-=0. 而xf(x)+∫(x)是函数xf(x)的导数:(xf(x))=xf(x)+f(x).由此,考察辅助 函数g(x)=xf(x),下面依上面的分析进行证明 因为g(x)=xf(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且g(0)=y(1)=0, 由罗尔定理知存在c∈(0,1)使(c)=0,即[xf(x)y|=0,或f(c)+f(c)=0 例8设f(x)在[0,+∞)上可导,且0≤f(x)≤1+x2,试证:存在>0,使 f()= 分析欲证f(4)= (1+)2,即要证 f'(x)a-e ),所以欲证之式即为[f(x 也就是要证函数f(x) 的导函数在(0,+∞)内有零点 证作辅助函数x)=1+x2-f(x),x∈[0,+∞) ∵0≤f(x)≤1+x(x≥0)…f(0)=0 显而易见g(x)有三个特点: (1)g(0)=0;(2)g(x)≥0(x≥0);(3)limg(x)=0 r.. 若在[0,+∞)上,(x)≡0,则处处g(x)=0,即f(x)=a1-)2处处成立 若在[0,+∞)上,gx)≠0,则必有一点x∈(0.+∞)使g(x0)>0 ∵g(x)在[xo,+∞)连续,且limq(x)=0, ∴必有b>x,使g(x)>9(b)>0. 又g(x)在[0,x]连续,(0)=0,所以必有a∈(0,x0),使g(a)=g(b) 在[a,b]上对g(x)使用罗尔定理知,存在∈(a,b)C(0,+∞),使φ()=0. 即 f(4) 2)2