第十六章动力学普遍方程与拉格朗日方程 §16-1动力学普遍方程 应用达朗伯原理,把质点系动力学问题转化为虚拟的静力学平衡问题求解,而虚位移 原理是用分析法求解质点系静力学平衡问题的普遍原理,将二者相结合,就可得到处理质 点系动力学问题的动力学普遍方程( General equations of dynamics)。对此方程进行了广义 坐标变换,可以导出拉格朗日方程( Lagrange' s equations of motion)。拉格朗日方程为建 立质点系的运动微分方程提供了十分方便而有效的方法,在振动理论、质点系动力学问题 中有着广泛地应用 我们先讨论动力学普遍方程 对于n个质点组成的质点系,在任一瞬时,作用于系统内的任一个质点M上的主动 力主矢为F,约束反力主矢为FN,据达朗伯原理,再加上该质点的惯性力F=-ma 则有 F+F+(-ma)=0(=1.2,…,n) 此时系统处于虚平衡状态。给系统任一组虚位移δr,根据虚位移原理,有 F+F -)Sr=0 对于理想约束,由于 FN.Sr=0 则得 ∑(F-ma1)r=0 (16-1) 或写成解析式 mx6x+(F-my)5y2+(F=-m1=;J5=;=0 (16-2) 式(16-1)和(16-2)称为动力学普遍方程。它表示:具有理想约束的质点系,任一瞬时 作用于其上的主动力和惯性力在系统的任一组虚位移上的虚功之和等于零。 将动力学普遍方程与静力学普遍方程相比较,其共同点在于方程中均不出现理想约束 反力,独立方程的数目等于系统的自由度数:区别在于动力学普遍方程中除包含主动力之 外,还包含有惯性力。 应用动力学普遍方程解题时,要正确分析和虚加惯性力,并视惯性力为主动力,解题 步骤与虚位移原理求平衡问题相同。 例16-1瓦特离心调速器以匀角速度O绕铅垂固定轴Oy转动,如图16-1所示。小 球A和B的质量为m,套筒C的质量为M,可沿铅垂轴无摩擦地滑动。其中OA=OB=l,1 第十六章 动力学普遍方程与拉格朗日方程 §16-1 动力学普遍方程 应用达朗伯原理，把质点系动力学问题转化为虚拟的静力学平衡问题求解，而虚位移 原理是用分析法求解质点系静力学平衡问题的普遍原理，将二者相结合，就可得到处理质 点系动力学问题的动力学普遍方程（General equations of dynamics）。对此方程进行了广义 坐标变换，可以导出拉格朗日方程（Lagrange’s equations of motion）。拉格朗日方程为建 立质点系的运动微分方程提供了十分方便而有效的方法，在振动理论、质点系动力学问题 中有着广泛地应用。 我们先讨论动力学普遍方程。 对于 n 个质点组成的质点系，在任一瞬时，作用于系统内的任一个质点 Mi 上的主动 力主矢为 Fi ，约束反力主矢为 Ni F ，据达朗伯原理，再加上该质点的惯性力 i FI ii = −m a ， 则有 ( ) 0 1 2 ( ) i FF a i N ii + +− = = m i , , ,n " 此时系统处于虚平衡状态。给系统任一组虚位移 i δ r ，根据虚位移原理，有 ( ) 1 0 i n i N ii i i FF a r m δ = ∑ +− ⋅= 对于理想约束，由于 0 1 ∑ ⋅ = = i F δ r Ni n i 则得 ( ) 1 0 n i ii i i Far m δ = ∑ − ⋅= （16-1） 或写成解析式 0 1 ⋅ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ″ ∑ − = i i i F m x x F m y y F m z z ix i i iy i i iz i i n i δ δ δ （16-2） 式（16-1）和（16-2）称为动力学普遍方程。它表示：具有理想约束的质点系，任一瞬时 作用于其上的主动力和惯性力在系统的任一组虚位移上的虚功之和等于零。 将动力学普遍方程与静力学普遍方程相比较，其共同点在于方程中均不出现理想约束 反力，独立方程的数目等于系统的自由度数；区别在于动力学普遍方程中除包含主动力之 外，还包含有惯性力。 应用动力学普遍方程解题时，要正确分析和虚加惯性力，并视惯性力为主动力，解题 步骤与虚位移原理求平衡问题相同。 例 16-1 瓦特离心调速器以匀角速度ω 绕铅垂固定轴 Oy 转动，如图 16-1 所示。小 球 A 和 B 的质量为 m，套筒 C 的质量为 M，可沿铅垂轴无摩擦地滑动。其中 OA = OB = l