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第12期 王小群等：非对称渐开线圆柱齿轮建模与扭转振动仿真 ,1265. 选用一对非对称渐开线直齿轮和一对对称渐开 线齿轮工作侧压力角4=35°，非工作侧压力角a= 线齿轮进行动力学分析，主动轮转速为n=500 20°，对称齿轮压力角c=20° rmin-1,输出转矩18000Nmm-,模数m=3mm, 用当量齿形法计算出随啮合位置变化A、B、 主动轮的齿数z1=20,从动轮z2=60,非对称渐开 C、D和E各点的啮合刚度如表1所示， 表1单对齿啮合刚度 Table 1 Mesh stiffness of a pair of teeth N'mm-1.m 齿轮 ka k ke ka ke km 对称齿轮 9.2363 15.3582 15.5150 15.0584 8.3147 21.1957 非对称齿轮 12.7557 18.7356 21.0441 15.8039 9.9978 23.1769 从表中可以看出，随着载荷作用点从齿根向齿 Rikm (t)[R101-R202-e(t)]=Tp 顶运动，单对齿啮合刚度从小到大，到节点处达到最 1202+cm R2[RI0-R2 02-e(t)]+ 大，再从大到小.与对称齿轮相比，非对称齿轮各点 R2km(t)[R0-R202-e(t)]=-Tg 的单齿啮合刚度和啮合刚度明显提高 式中，1和12分别为主动齿轮和被动齿轮的转动 3非对称齿轮扭转振动模型 惯量，01和02分别为主、被动齿轮的扭转振动位 在齿轮传动过程中，主动齿轮和被动齿轮的轮 移，和02分别为主、被动齿轮的扭转振动速度， 齿不断进入啮合，啮合齿对不断发生变化以进行连 0,和2分别为主、被动齿轮的扭转振动加速度，cm 续动力学传递，在ADAMS中很难采用传统的非对 为齿轮副的阻尼激励，B1和2分别为主、被动齿 称齿轮扭转振动模型描述这一过程，因此需要对模 轮的节圆半径，e(t)为啮合齿轮的静态传递误差， 型进行等价变换[-].实现方法如图2所示.添加 km(t)为啮合齿轮副的时变啮合刚度，Tp和Tg分 两个无质量刚性辅助齿轮（用密度足够小的齿轮代 别为作用在主动齿轮、被动齿轮上的外力矩， 替)，辅助齿轮1通过扭簧1与主动齿轮相连，辅助 在图2的等价动力学模型中，T1为辅助齿轮2 齿轮2通过扭簧2与被动齿轮连接.工作时，将驱 对主动齿轮的反作用力，T?为辅助齿轮1传递给辅 动力施加在辅助齿轮1上，在主动齿轮和辅助齿轮 助齿轮2的力矩，即等价扭簧传递的力矩 2之间添加齿轮副约束.在动力传递过程中，动力 T2=ka(t)(0-0-e'(t)+ca(0-2-e'(t) 由辅助齿轮1通过扭簧1传递给主动齿轮，由于主 式中，km(t)、cm和e（t)分别为扭簧的等价刚度、等 动齿轮不是和被动齿轮啮合，而是和辅助齿轮2啮 合，动力先由主动齿轮传递给辅助齿轮2，最后通过 价阻尼、等价初始角位移变动量，0、和分别为辅 扭簧2传递给被动齿轮 助齿轮2的扭转振动位移、扭转振动速度和扭转振动 加速度，由文献[7]知扭簧各参数与齿轮各参数的 等价关系为： k(t)=kn(t)R脱，ca=cmRi,e'(t)=e(t)R2 由于齿轮副是按照定比传动，切向力相等，因此 满足： 扭簧2 R2 式中，R1和2分别为等价模型中主动齿轮和辅助 辅助齿轮1 主动齿轮 辅助齿轮2 被动齿轮 齿轮2的节圆半径 由图1，主动齿轮和被动齿轮满足如下关系： 图2非对称齿轮扭转振动模型 Fig.2 Torsional vibration model of gears with asymmetric teeth 10+T1=Tp 传统的非对称齿轮动力学方程为，8] 1202+T2=-Tg 其中， I101+cmR1[Ri-R202-e(t)]+ T2=km(t)R2(R10-R202-e(t))+选用一对非对称渐开线直齿轮和一对对称渐开 线齿轮进行动力学分析主动轮转速为 n ＝500 r·min —1输出转矩18000N·mm —1模数 m＝3mm 主动轮的齿数 z1＝20从动轮 z2＝60非对称渐开 线齿轮工作侧压力角αd＝35°非工作侧压力角 αc＝ 20°对称齿轮压力角 α＝20°． 用当量齿形法计算出随啮合位置变化 A、B、 C、D 和 E 各点的啮合刚度如表1所示． 表1 单对齿啮合刚度 Table1 Mesh stiffness of a pair of teeth N·mm —1·μm —1 齿轮 ka kb kc kd ke km 对称齿轮 9∙2363 15∙3582 15∙5150 15∙0584 8∙3147 21∙1957 非对称齿轮 12∙7557 18∙7356 21∙0441 15∙8039 9∙9978 23∙1769 从表中可以看出随着载荷作用点从齿根向齿 顶运动单对齿啮合刚度从小到大到节点处达到最 大再从大到小．与对称齿轮相比非对称齿轮各点 的单齿啮合刚度和啮合刚度明显提高． 3 非对称齿轮扭转振动模型 在齿轮传动过程中主动齿轮和被动齿轮的轮 齿不断进入啮合啮合齿对不断发生变化以进行连 续动力学传递在 ADAMS 中很难采用传统的非对 称齿轮扭转振动模型描述这一过程因此需要对模 型进行等价变换［6—7］．实现方法如图2所示．添加 两个无质量刚性辅助齿轮（用密度足够小的齿轮代 替）辅助齿轮1通过扭簧1与主动齿轮相连辅助 齿轮2通过扭簧2与被动齿轮连接．工作时将驱 动力施加在辅助齿轮1上在主动齿轮和辅助齿轮 2之间添加齿轮副约束．在动力传递过程中动力 由辅助齿轮1通过扭簧1传递给主动齿轮由于主 动齿轮不是和被动齿轮啮合而是和辅助齿轮2啮 合动力先由主动齿轮传递给辅助齿轮2最后通过 扭簧2传递给被动齿轮． 图2 非对称齿轮扭转振动模型 Fig．2 Torsional vibration model of gears with asymmetric teeth 传统的非对称齿轮动力学方程为［18］： I1θ ·· 1＋cm R1［ R1θ · 1— R2θ · 2—e · （ t）］＋ R1km（ t）［ R1θ1— R2θ2—e（ t）］＝ Tp． I2θ ·· 2＋cm R2［ R1θ · 1— R2θ · 2—e · （ t）］＋ R2km（ t）［ R1θ1— R2θ2—e（ t）］＝— Tg． 式中I1 和 I2 分别为主动齿轮和被动齿轮的转动 惯量θ1 和 θ2 分别为主、被动齿轮的扭转振动位 移θ · 1 和 θ · 2 分别为主、被动齿轮的扭转振动速度 θ ·· 1和 θ ·· 2分别为主、被动齿轮的扭转振动加速度cm 为齿轮副的阻尼激励R1 和 R2 分别为主、被动齿 轮的节圆半径e（ t）为啮合齿轮的静态传递误差 km（ t）为啮合齿轮副的时变啮合刚度TP 和 Tg 分 别为作用在主动齿轮、被动齿轮上的外力矩． 在图2的等价动力学模型中T1 为辅助齿轮2 对主动齿轮的反作用力T2 为辅助齿轮1传递给辅 助齿轮2的力矩即等价扭簧传递的力矩． T2＝k′m（ t）（θ—θ2—e′（ t））＋c′m（θ · —θ · 2—e ·′（ t））． 式中k′m（ t）、c′m 和 e′（ t）分别为扭簧的等价刚度、等 价阻尼、等价初始角位移变动量θ、θ · 和 θ ·· 分别为辅 助齿轮2的扭转振动位移、扭转振动速度和扭转振动 加速度．由文献［7］知扭簧各参数与齿轮各参数的 等价关系为： k′m（ t）＝km（ t） R 2 2c′m＝cm R 2 2e′（ t）＝e（ t） R2． 由于齿轮副是按照定比传动切向力相等因此 满足： θ＝ R′1 R′2 θ1＝ R1 R2 θ1T1＝ R′1 R′2 T2＝ R1 R2 T2． 式中R′1 和 R′2 分别为等价模型中主动齿轮和辅助 齿轮2的节圆半径． 由图1主动齿轮和被动齿轮满足如下关系： I1θ ·· 1＋ T1＝ Tp I2θ ·· 2＋ T2＝— Tg． 其中 T2＝km（ t） R2（ R1θ1— R2θ2—e（ t））＋ 第12期 王小群等： 非对称渐开线圆柱齿轮建模与扭转振动仿真 ·1265·